Faça um gráfico de
(von Foerster) em função de
, usando
e
, ou seja, descrição da população humana. Note que a taxa de crescimento per capita da população humana cresce com o tamanho da população. Como você explica esse resultado?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Fazer um gráfico da função
em função de , usando e . - Explicar por que, segundo esse resultado, a taxa de crescimento per capita da população humana cresce com o tamanho da população.
Informações dadas:
-
. -
. - A função a plotar é
.
O que devo devolver: um gráfico (instrução/código para gerar) e uma explicação didática e intuitiva do resultado.
Passo 2
Primeira manipulação algébrica e interpretação do que é
.
- A fórmula dada é
- Substituindo
e obtemos
Agora interpretar: normalmente a expressão “taxa de crescimento per capita” significa “crescimento por indivíduo” (por exemplo, se
tiver unidades ano^{-1}, então é a taxa relativa por pessoa). Se
aumenta quando
aumenta, isso significa que cada indivíduo, em média, contribui mais para o crescimento total quando a população é maior — ou seja, há um efeito de retroalimentação positiva.
Também é útil lembrar a relação entre taxa per capita e crescimento absoluto:
Com nosso
isso fica
Isto mostra que o crescimento absoluto é proporcional a
(exponencial superlinear) — crescimento que acelera muito rapidamente com
.
Passo 3
Escolha do domínio e escala para o gráfico (o que é razoável para população humana).
- População humana típica atual fica na casa de
(bilhões), então é natural plotar de, por exemplo, até para ver comportamento em várias ordens de magnitude. - Por causa do forte crescimento com potência
, é muito útil exibir o gráfico em escala log–log: em um gráfico log-log uma lei potência aparece como uma reta de inclinação . Também darei um gráfico em escala linear para ver o crescimento absoluto.
Passo 4
Alguns valores numéricos ilustrativos (para intuir a grandeza dos números). Aqui usei a forma
. Para facilitar os cálculos usei potências de 10 e a propriedade
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
(aprox. população atual):
Observação importante: esses números são enormes — isso mostra que, no modelo puro, a taxa per capita cresce para valores muito grandes, o que, interpretado literalmente, seria uma taxa de crescimento por indivíduo absurda (por exemplo centenas ou milhares de vezes por unidade de tempo). Isso indica que o modelo é uma idealização válida apenas em certo regime histórico e não pode ser extrapolado indefinidamente sem incluir limitações reais (recursos, mudança demográfica, etc.). Vou discutir isso melhor no passo da interpretação.
Passo 5
Como gerar o gráfico (código pronto em Python + matplotlib). Copie e execute este código para obter dois painéis: gráfico em escala linear e gráfico em escala log-log.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# parâmetros
r = 2.0
qtil = -1.09 # dado
# função F(N)
def F(N):
return r * N**(-qtil)
# domínio de N (de 1e6 a 1e10)
N = np.logspace(6, 10, 400) # 400 pontos logaritmicamente espaçados
# calcula F
y = F(N)
# plot
plt.figure(figsize=(10,5))
# painel 1: escala linear
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(N, y, color='tab:blue')
plt.xscale('linear')
plt.yscale('linear')
plt.xlabel('N')
plt.ylabel('F(N)')
plt.title('F(N) em escala linear')
plt.grid(True, linestyle=':', alpha=0.6)
# painel 2: escala log-log
plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(N, y, color='tab:red')
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlabel('N (log)')
plt.ylabel('F(N) (log)')
plt.title('F(N) em escala log-log')
plt.grid(True, which='both', linestyle=':', alpha=0.6)
plt.tight_layout()
plt.show()
Explicação curta do código:
-
cria valores de entre e . - O painel log-log mostra uma reta cuja inclinação em log-log é exatamente
(porque ).
Passo 6
Interpretação física e explicação didática (por que a taxa per capita cresce com
).
- Significado matemático simples:
- Como vimos, com
temos . A potência implica que aumenta quando aumenta. Logo, a taxa de crescimento por pessoa é maior quando há mais pessoas.
- Intuição socioeconômica por trás do modelo (por que isso pode ocorrer na realidade):
- Efeito de rede: mais pessoas geram mais interações, mais trocas de ideias e mais oportunidades de colaboração. Isso aumenta produtividade, inovação e eficiência em geral.
- Acúmulo de conhecimento: populações maiores tendem a ter mais especialistas, mais universidades, mais investimento em tecnologia — o progresso tecnológico é parcialmente proporcional ao número de cérebros trabalhando.
- Economias de escala em informação: quando há mais pessoas, o ritmo de difusão e adoção de inovações acelera, ampliando a captação de benefícios por indivíduo.
Esses fatores promovem feedback positivo: mais população → mais inovação/produção por pessoa → maior taxa de crescimento.
- Limitações e por que o modelo não é realista indefinidamente:
- Recursos físicos finitos (alimentos, água, energia) impõem limites.
- Transições demográficas: conforme países enriquecem, as taxas de fertilidade tendem a cair (reduzindo F).
- Instituições, políticas e choques (pandemias, guerras) mudam a dinâmica.
Portanto, o comportamento superlinear é uma boa descrição histórica de certos períodos (quando inovação crescia rápido com população), mas não pode ser extrapolado sem modificação para sempre — modelos realistas adicionam termos de saturação ou dependências temporais da taxa.
- Consequência matemática notável:
- Como mostrei,
. Para equações do tipo com existe solução com “explosão” em tempo finito (singularidade): o modelo prevê crescimento cada vez mais rápido, com tendência a uma divergência matemática num tempo finito a partir de uma condição inicial. Isso é o que von Foerster e colaboradores notaram historicamente quando ajustaram modelos do tipo e encontraram previsões de “singularidade” (o que, novamente, indica que o modelo deve perder validade antes disso por razões reais).
Passo 7
Resumo prático do que você deve observar no gráfico e do que concluir ao estudar esse exercício.
- No gráfico em escala linear:
cresce muito rápido com , os valores ficam enormes para na casa dos bilhões. - No gráfico log-log: a curva se transforma numa reta de inclinação
porque . Esse é o jeito mais claro de verificar que a lei é uma potência e de estimar a expoente a partir de dados reais (regressão linear em log-log). - Conclusão conceitual: o modelo captura um mecanismo de retroalimentação positiva (mais pessoas → mais inovação/cooperação → maior taxa per capita), mas tem limites práticos que precisam ser modelados separadamente.
Resposta
Gráfico: gerar o gráfico usando o código Python fornecido no Passo 5; em escala log-log a curva aparece como uma reta de inclinação
porque
.
Explicação: como torna o expoente positivo, a lei potência faz a taxa per capita crescer com
; isso reflete feedbacks positivos reais (efeitos de rede, acúmulo de conhecimento e inovação) que tornam cada indivíduo, em média, mais produtivo/gerador de crescimento em populações maiores — porém o modelo é uma idealização e não pode ser extrapolado indefinidamente devido a limites reais (recursos, transição demográfica, instituições).
Explicação: como