Faça um gráfico de F(N)=r N^{-\tilde{q}} (von Foerster) em função de N, usando \tilde{q}=-1,09 e r=2, ou seja, descrição da população humana. Note que a taxa de crescimento per capita da população humana cresce com o tamanho da população. Como você explica esse resultado?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Fazer um gráfico da função \displaystyle F(N)=r\,N^{-\tilde{q}} em função de N, usando \displaystyle \tilde{q}=-1,09 e \displaystyle r=2.
  • Explicar por que, segundo esse resultado, a taxa de crescimento per capita da população humana cresce com o tamanho da população.
Informações dadas:
  • \displaystyle \tilde{q}=-1{,}09.
  • \displaystyle r=2.
  • A função a plotar é \displaystyle F(N)=r\,N^{-\tilde{q}}.
O que devo devolver: um gráfico (instrução/código para gerar) e uma explicação didática e intuitiva do resultado.

Passo 2

Primeira manipulação algébrica e interpretação do que é F(N).
  • A fórmula dada é
F(N)=r\,N^{-\tilde{q}}.
  • Substituindo \tilde{q}=-1{,}09 e r=2 obtemos
F(N)=2\,N^{-(-1{,}09)}=2\,N^{1{,}09}.
Agora interpretar: normalmente a expressão “taxa de crescimento per capita” significa “crescimento por indivíduo” (por exemplo, se \displaystyle F tiver unidades ano^{-1}, então é a taxa relativa por pessoa). Se \displaystyle F(N) aumenta quando N aumenta, isso significa que cada indivíduo, em média, contribui mais para o crescimento total quando a população é maior — ou seja, há um efeito de retroalimentação positiva.
Também é útil lembrar a relação entre taxa per capita e crescimento absoluto:
\frac{dN}{dt}=F(N)\,N.
Com nosso F(N) isso fica
\frac{dN}{dt}=2\,N^{1{,}09}\,N = 2\,N^{2{,}09}.
Isto mostra que o crescimento absoluto é proporcional a N^{2{,}09} (exponencial superlinear) — crescimento que acelera muito rapidamente com N.

Passo 3

Escolha do domínio e escala para o gráfico (o que é razoável para população humana).
  • População humana típica atual fica na casa de N\sim 10^{9} (bilhões), então é natural plotar N de, por exemplo, 10^{6} até 10^{10} para ver comportamento em várias ordens de magnitude.
  • Por causa do forte crescimento com potência >1, é muito útil exibir o gráfico em escala log–log: em um gráfico log-log uma lei potência \;F(N)=2\,N^{1{,}09}\; aparece como uma reta de inclinação 1{,}09. Também darei um gráfico em escala linear para ver o crescimento absoluto.

Passo 4

Alguns valores numéricos ilustrativos (para intuir a grandeza dos números). Aqui usei a forma F(N)=2\,N^{1{,}09}. Para facilitar os cálculos usei potências de 10 e a propriedade N^{1{,}09}=10^{1{,}09\log_{10}N}.
  • Para N=10^{6}:
F(10^{6})=2\cdot(10^{6})^{1{,}09}=2\cdot10^{6{,}54}\approx 2\cdot3{,}467\times10^{6}=6{,}93\times10^{6}.
  • Para N=10^{7}:
F(10^{7})\approx 2\cdot10^{7{,}63}\approx 8{,}54\times10^{7}.
  • Para N=10^{8}:
F(10^{8})\approx 2\cdot10^{8{,}72}\approx 1{,}05\times10^{9}.
  • Para N=10^{9}:
F(10^{9})\approx 2\cdot10^{9{,}81}\approx 1{,}29\times10^{10}.
  • Para N=7\times10^{9} (aprox. população atual):
\log_{10}(7\times10^{9})\approx 9{,}8451,\quad 1{,}09\cdot9{,}8451\approx10{,}73,
F(7\times10^{9})\approx 2\cdot10^{10{,}73}\approx 1{,}07\times10^{11}.
Observação importante: esses números são enormes — isso mostra que, no modelo puro, a taxa per capita cresce para valores muito grandes, o que, interpretado literalmente, seria uma taxa de crescimento por indivíduo absurda (por exemplo centenas ou milhares de vezes por unidade de tempo). Isso indica que o modelo é uma idealização válida apenas em certo regime histórico e não pode ser extrapolado indefinidamente sem incluir limitações reais (recursos, mudança demográfica, etc.). Vou discutir isso melhor no passo da interpretação.

Passo 5

Como gerar o gráfico (código pronto em Python + matplotlib). Copie e execute este código para obter dois painéis: gráfico em escala linear e gráfico em escala log-log.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# parâmetros
r = 2.0
qtil = -1.09  # dado
# função F(N)
def F(N):
    return r * N**(-qtil)

# domínio de N (de 1e6 a 1e10)
N = np.logspace(6, 10, 400)  # 400 pontos logaritmicamente espaçados

# calcula F
y = F(N)

# plot
plt.figure(figsize=(10,5))

# painel 1: escala linear
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(N, y, color='tab:blue')
plt.xscale('linear')
plt.yscale('linear')
plt.xlabel('N')
plt.ylabel('F(N)')
plt.title('F(N) em escala linear')
plt.grid(True, linestyle=':', alpha=0.6)

# painel 2: escala log-log
plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(N, y, color='tab:red')
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlabel('N (log)')
plt.ylabel('F(N) (log)')
plt.title('F(N) em escala log-log')
plt.grid(True, which='both', linestyle=':', alpha=0.6)

plt.tight_layout()
plt.show()
Explicação curta do código:
  • \texttt{np.logspace(6,10,400)} cria valores de N entre 10^{6} e 10^{10}.
  • O painel log-log mostra uma reta cuja inclinação em log-log é exatamente 1{,}09 (porque F(N)\propto N^{1{,}09}).

Passo 6

Interpretação física e explicação didática (por que a taxa per capita cresce com N).
  1. Significado matemático simples:
  • Como vimos, com \tilde{q}=-1{,}09 temos \;F(N)=2N^{1{,}09}\;. A potência 1{,}09>0 implica que F(N) aumenta quando N aumenta. Logo, a taxa de crescimento por pessoa é maior quando há mais pessoas.
  1. Intuição socioeconômica por trás do modelo (por que isso pode ocorrer na realidade):
  • Efeito de rede: mais pessoas geram mais interações, mais trocas de ideias e mais oportunidades de colaboração. Isso aumenta produtividade, inovação e eficiência em geral.
  • Acúmulo de conhecimento: populações maiores tendem a ter mais especialistas, mais universidades, mais investimento em tecnologia — o progresso tecnológico é parcialmente proporcional ao número de cérebros trabalhando.
  • Economias de escala em informação: quando há mais pessoas, o ritmo de difusão e adoção de inovações acelera, ampliando a captação de benefícios por indivíduo.
    Esses fatores promovem feedback positivo: mais população → mais inovação/produção por pessoa → maior taxa de crescimento.
  1. Limitações e por que o modelo não é realista indefinidamente:
  • Recursos físicos finitos (alimentos, água, energia) impõem limites.
  • Transições demográficas: conforme países enriquecem, as taxas de fertilidade tendem a cair (reduzindo F).
  • Instituições, políticas e choques (pandemias, guerras) mudam a dinâmica.
    Portanto, o comportamento superlinear é uma boa descrição histórica de certos períodos (quando inovação crescia rápido com população), mas não pode ser extrapolado sem modificação para sempre — modelos realistas adicionam termos de saturação ou dependências temporais da taxa.
  1. Consequência matemática notável:
  • Como mostrei, \displaystyle \frac{dN}{dt}=F(N)N=2\,N^{2{,}09}. Para equações do tipo \frac{dN}{dt}=k\,N^{p} com p>1 existe solução com “explosão” em tempo finito (singularidade): o modelo prevê crescimento cada vez mais rápido, com tendência a uma divergência matemática num tempo finito a partir de uma condição inicial. Isso é o que von Foerster e colaboradores notaram historicamente quando ajustaram modelos do tipo e encontraram previsões de “singularidade” (o que, novamente, indica que o modelo deve perder validade antes disso por razões reais).

Passo 7

Resumo prático do que você deve observar no gráfico e do que concluir ao estudar esse exercício.
  • No gráfico em escala linear: F(N) cresce muito rápido com N, os valores ficam enormes para N na casa dos bilhões.
  • No gráfico log-log: a curva se transforma numa reta de inclinação \;1{,}09\; porque \log F = \log 2 + 1{,}09\log N. Esse é o jeito mais claro de verificar que a lei é uma potência e de estimar a expoente a partir de dados reais (regressão linear em log-log).
  • Conclusão conceitual: o modelo captura um mecanismo de retroalimentação positiva (mais pessoas → mais inovação/cooperação → maior taxa per capita), mas tem limites práticos que precisam ser modelados separadamente.

Resposta

Gráfico: gerar o gráfico usando o código Python fornecido no Passo 5; em escala log-log a curva aparece como uma reta de inclinação 1{,}09 porque \displaystyle F(N)=2\,N^{1{,}09}.
Explicação: como \tilde{q}=-1{,}09 torna o expoente positivo, a lei potência faz a taxa per capita crescer com N; isso reflete feedbacks positivos reais (efeitos de rede, acúmulo de conhecimento e inovação) que tornam cada indivíduo, em média, mais produtivo/gerador de crescimento em populações maiores — porém o modelo é uma idealização e não pode ser extrapolado indefinidamente devido a limites reais (recursos, transição demográfica, instituições).

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