Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) 2 x^2+5 y^2+4 z^2=8
( )Sela
b) -x^2-y+z^2=0
( )Hiperbolóide de 1 folha
c) y^2+3 z^2=-8+x^2
( )Hiperbolóide de 2 folhas
d) x^2-raiz3 y^2+8 z^2=1
( )Elipsóide

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para identificar diferentes tipos de quádricas com base nas suas equações. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente no estudo das superfícies de segundo grau no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender as características de cada quádricas como elipsóides, hiperbolóides e sela, e comparar com as equações que temos.

Passo 2

Vamos começar com a letra a): 2x^2 + 5y^2 + 4z^2 = 8
Primeiro, vamos observar os termos ao quadrado. Todos os coeficientes de x^2, y^2 e z^2 são positivos. Isso indica que estamos lidando com uma superfície onde todas as direções estão “esticadas” de forma positiva, sem mudanças de sinal que pudessem indicar uma hipérbole.
Em Geometria Analítica, quando todos os coeficientes dos termos quadráticos são positivos e iguais após simplificação, temos um Elipsóide. É uma superfície arredondada, semelhante a uma esfera, mas com diferentes “comprimentos” nos eixos.

Passo 3

Agora, vamos para a letra b): -x^2 - y + z^2 = 0
Aqui, temos termos com sinais diferentes: -x^2 e z^2 têm sinais opostos. Isso sugere que estamos lidando com uma hiperbolóide. Além disso, como o termo em y não está ao quadrado, focamos nos termos que estão.
Uma Sela é uma superfície que também possui termos com sinais opostos, similar a uma hiperbolóide de uma folha, mas geralmente associada a equações com menos variáveis quadráticas. No entanto, considerando os sinais opostos dos termos quadráticos, a opção mais adequada é a Sela.

Passo 4

Vamos para a letra c): y^2 + 3z^2 = -8 + x^2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação:
x^2 - y^2 - 3z^2 = 8
Agora, observamos que o termo x^2 tem sinal positivo, enquanto y^2 e z^2 têm sinais negativos. Isso indica a presença de uma hiperbolóide com dois sinais opostos.
Uma Hiperbolóide de 2 folhas ocorre quando a equação tem a forma x^2a^2 - y^2b^2 - z^2c^2 = 1, o que se assemelha à nossa reorganização.

Passo 5

Por último, a letra d): x^2 - raiz3y^2 + 8z^2 = 1
Aqui, temos novamente termos com sinais diferentes: x^2 e y^2 têm sinais opostos, enquanto z^2 é positivo. A presença de diferentes sinais nos termos quadráticos indica uma hiperbolóide.
Além disso, como temos um termo positivo e dois negativos, isso sugere uma Hiperbolóide de 1 folha, que possui uma estrutura contínua e semelhante a uma sela torcida.

Resposta

a) Elipsóide
b) Sela
c) Hiperbolóide de 2 folhas
d) Hiperbolóide de 1 folha

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