Identifique a paridade das seguintes funções e verifique quais delas são periódicas.
\(f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\).
\(f(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)\).
\(f(x)=\cos (x)+e^{\operatorname{sen}(x)}\)
\(f(x)=\cos (\pi x)+e^{\operatorname{sen}(x)}\)
\(f(x)=2\)
\(f(x)=(\operatorname{sen}(x)+\cos (x)+1)^{5}\)
\(f(x)=(\cos (2 x)+1)^{7}\)
\(f(x)=\operatorname{sen}^{2}(\pi x)+\cos (\pi x)\)
\(f(x)=\operatorname{sen}(x) \cos (x)\)
\(f(x)=\operatorname{sen}(1+\cos (x))\)

Passo 1

O enunciado pede para, dado cada f(x), identificar se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas, e também verificar se é periódica (e, em caso afirmativo, indicar um período).

Passo 2

Para testar paridade, usamos:
se f(-x)=f(x), (f) é par; se f(-x)=-f(x), (f) é ímpar; senão, não é nem par nem ímpar ééíããéí
Para periodicidade, procuramos T>0 tal que
f(x+T)=f(x)forall x

Passo 3

Analisando
  1. f(x)=sin(x^2).
    sin(( -x)^2)=sin(x^2)=f(x), logo é par.
    Não existe T não nulo com (x+T)^2equiv x^2pmod2pi para todo x, então não é periódica.
  2. f(x)=sin^2(x).
    sin^2(-x)=sin^2(x), é par.
    Como sin^2(x)=tfrac1-cos(2x)2, o período fundamental é pi, logo é periódica com período pi.

Passo 4

Analisando
3) f(x)=cos(x)+e^sin(x).
f(-x)=cos(x)+e^-sin(x),
que não coincide nem com f(x) nem com -f(x), então nenhuma.
Tanto cos(x) quanto e^sin(x) têm período 2pi, logo f é periódica de período 2pi.
  1. f(x)=cos(pi x)+e^sin(x).
f(-x)=cos(pi x)+e^-sin(x),
também não é par nem ímpar.
Procura-se T com cos[pi(x+T)]=cos(pi x) (precisa Tin2Bbb Z) e e^sin(x+T)=e^sin x (precisa T=2pi k).
Não há Tneq0 comum, pois 2 e 2pi não têm múltiplo comum não zero. Logo não é periódica.

Passo 5

Analisando
5) f(x)=2.
,f(-x)=2=f(x), é par.
Constante é trivialmente periódica (qualquer T>0 vale).
  1. f(x)=(sin x+cos x+1)^5.
f(-x)=(-sin x+cos x+1)^5neqpm(sin x+cos x+1)^5,
logo nenhuma.
Como o interior tem período 2pi, a quinta potência também tem período 2pi.

Passo 6

Analisando
7) f(x)=(cos(2x)+1)^7.
cos(2(-x))+1=cos(2x)+1 implies par.
cos(2(x+pi))=cos(2x+2pi)=cos(2x) implies período pi.
  1. f(x)=sin^2(pi x)+cos(pi x).
sin^2(pi(-x))=sin^2(pi x),cos(pi(-x))=cos(pi x)
implies par.
sin^2[pi(x+2)]=sin^2(pi x) e cos[pi(x+2)]=cos(pi x) implies período 2.

Passo 7

Analisando
9) f(x)=sin(x)cos(x).
f(-x)=sin(-x)cos(-x)=(-sin x)(cos x)=-sin xcos x=-f(x),
logo ímpar.
Mas sin(x)cos(x)=tfrac12sin(2x), com período pi.
  1. f(x)=sinl(1+cos(x)r).
    cos(-x)=cos(x) implies sin(1+cos(-x))=sin(1+cos x), é par.
    cos(x+2pi)=cos x implies sin(1+cos(x+2pi))=sin(1+cos x), período 2pi.
    Não há período menor porque cos(x+pi)=-cos x muda o argumento.

Resposta

  1. sin(x^2): par, não periódica.
  2. sin^2(x): par, periódica de período pi.
  3. cos(x)+e^sin(x): nenhuma, periódica de período 2pi.
  4. cos(pi x)+e^sin(x): nenhuma, não periódica.
  5. 2: par, periódica (qualquer T>0).
  6. (sin x+cos x+1)^5: nenhuma, periódica de período 2pi.
  7. (cos(2x)+1)^7: par, periódica de período pi.
  8. sin^2(pi x)+cos(pi x): par, periódica de período 2.
  9. sin(x)cos(x): ímpar, periódica de período pi.
  10. sinl(1+cos(x)r): par, periódica de período 2pi.

Exercícios relacionados