Questão 3. (Valor 1,0) Determine o conjunto solução sistema, através do escalonamento, e classifique-o.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver um sistema de equações usando o método de escalonamento e depois classificar o conjunto solução. O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente resolução de sistemas lineares através da eliminação de Gauss. Para resolver, vamos precisar manipular as equações para simplificá-las e encontrar os valores de x , y e z que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x + y - z = 0 2x - y + 3z = 0 - x + 4y + z = 0
Nosso objetivo é transformar esse sistema em uma forma mais simples, onde seja fácil identificar as soluções. Para isso, vamos usar operações de linha para eliminar uma variável de cada equação, começando pelo x .
Passo 3
Vamos eliminar o x das equações 2 e 3. Para eliminar o x da segunda equação, podemos subtrair duas vezes a primeira equação da segunda:
2x - y + 3z - 2(x + y - z) = 0 - 2(0)
Simplificando:
2x - y + 3z - 2x - 2y + 2z = 0 -3y + 5z = 0
Agora, eliminamos o x da terceira equação somando a primeira equação com a terceira:
- x + 4y + z + (x + y - z) = 0 + 0 0x + 5y + 0z = 0 5y = 0
Passo 4
Agora temos um sistema simplificado:
x + y - z = 0 -3y + 5z = 0 5y = 0
Da terceira equação, 5y = 0 , podemos resolver para y :
y = 0
Passo 5
Com y = 0 , substituímos na segunda equação para encontrar z :
-3(0) + 5z = 0 5z = 0 z = 0
Passo 6
Agora que temos y = 0 e z = 0 , substituímos esses valores na primeira equação para encontrar x :
x + 0 - 0 = 0 x = 0
Resposta
O conjunto solução do sistema é , (0, 0, 0) , , ou seja, a única solução é x = 0 , y = 0 e z = 0 . O sistema é chamado de determinado porque possui uma única solução.