Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
O enunciado nos pede o mapa de contorno da função
Isto é, precisamos desenhar no plano
várias curvas de nível definidas por
. O conteúdo é “curvas de nível” (ou “contour lines”) de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Uma curva de nível para
corresponde ao conjunto
onde
é constante. Portanto, cada nível satisfaz
Passo 3
Para ver que tipo de curva é essa, dividimos a equação por
:
Isto mostra que cada curva de nível é uma elipse centrada na origem, com semi-eixos
Passo 4
Para ilustrar, escolhemos níveis
. Assim obtêm‐se as seguintes elipses:
c
:
c
:
c
:
c
:
Passo 5
No plano
, as curvas de nível são elipses concêntricas, cada vez maiores conforme
cresce, mais esticadas no eixo
e achatadas no eixo
. Um esboço ASCII fica assim (cada traço “—” e barra “|” representam eixos e os “…” representam elipses):
y
│ …………… (c )
│ … …
│ … …
│ … (c ) …
│ … …
──────────┼──────────────────────── x
│ … (c ) …
│ … …
│ … …
│ … …
│ … (c )
│ …………… (c
│ … …
│ … …
│ … (c
│ … …
──────────┼──────────────────────── x
│ … (c
│ … …
│ … …
│ … …
│ … (c
Resposta
As curvas de nível de
são as elipses
com semi-eixos
em
e
em
. Exemplos de níveis são
No plano, elas formam elipses concêntricas, mais largas no
e mais estreitas no
.