Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
f(x, y)=x^{2}+9 y^{2}

Passo 1

O enunciado nos pede o mapa de contorno da função
f(x,y)=x^{2}+9y^{2}
Isto é, precisamos desenhar no plano xy várias curvas de nível definidas por f(x,y)=c. O conteúdo é “curvas de nível” (ou “contour lines”) de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Uma curva de nível para f corresponde ao conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\},
onde c\ge0 é constante. Portanto, cada nível satisfaz
x^{2}+9y^{2}=c.

Passo 3

Para ver que tipo de curva é essa, dividimos a equação por c:
\frac{x^{2}}{c}+\frac{9y^{2}}{c}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{c}+\frac{y^{2}}{c/9}=1.
Isto mostra que cada curva de nível é uma elipse centrada na origem, com semi-eixos
a=\sqrt{c} \quad\text{em \(x\) e}\quad b=\sqrt{\frac{c}{9}}=\frac{\sqrt{c}}{3} \quad\text{em \(y\).}

Passo 4

Para ilustrar, escolhemos níveis c=1,4,9,16. Assim obtêm‐se as seguintes elipses:
c =1:
x^{2}+9y^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad a=1,\;b=\tfrac{1}{3}.
c =4:
x^{2}+9y^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad a=2,\;b=\tfrac{2}{3}.
c =9:
x^{2}+9y^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad a=3,\;b=1.
c =16:
x^{2}+9y^{2}=16 \quad\Longrightarrow\quad a=4,\;b=\tfrac{4}{3}.

Passo 5

No plano xy, as curvas de nível são elipses concêntricas, cada vez maiores conforme c cresce, mais esticadas no eixo x e achatadas no eixo y. Um esboço ASCII fica assim (cada traço “—” e barra “|” representam eixos e os “…” representam elipses):
y
│ …………… (c =16)
│ … …
│ … …
│ … (c =9) …
│ … …
──────────┼──────────────────────── x
│ … (c =4) …
│ … …
│ … …
│ … …
│ … (c =1)

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=x^{2}+9y^{2} são as elipses
x^{2}+9y^{2}=c,
com semi-eixos a=\sqrt{c} em x e b=\sqrt{c}/3 em y. Exemplos de níveis são
c=1\,(a=1,b=\tfrac13),\; c=4\,(a=2,b=\tfrac23),\; c=9\,(a=3,b=1),\; c=16\,(a=4,b=\tfrac43).
No plano, elas formam elipses concêntricas, mais largas no x e mais estreitas no y.

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