Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
f(x, y)=\frac{x+y}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno de
f(x,y)=\frac{x+y}{x-y},
ou seja, desenhar no plano várias curvas de nível definidas por
f(x,y)=k,
para diferentes valores de k. Vamos precisar achar a equação em x e y de cada curva de nível, entender o domínio (onde x\neq y) e ver que tipo de curvas aparecem.

Passo 2

Começamos impondo
\frac{x+y}{x-y}=k.
Multiplicando ambos os lados por (x-y), vem
x+y = k\,(x-y).
Desenvolvendo e reunindo termos em x e y, obtemos
x+y = kx - ky \quad\Longrightarrow\quad x - kx + y + ky = 0 \quad\Longrightarrow\quad (1-k)\,x + (1+k)\,y = 0.

Passo 3

A equação
(1-k)\,x + (1+k)\,y = 0
é a forma geral de cada curva de nível f(x,y)=k. Para k\neq \pm1 isso representa retas que passam pela origem com coeficiente angular
m = -\,\frac{1-k}{1+k}.
Como x\neq y no domínio, excluímos a bissetriz y=x.

Passo 4

Ficam dois casos especiais:
  1. Se k=1, a equação reduz a
(1-1)\,x+(1+1)\,y=0 \;\Longrightarrow\;2y=0 \;\Longrightarrow\;y=0,
que é o eixo horizontal.
2. Se k=-1, vem
(1+1)\,x+(1-1)\,y=0 \;\Longrightarrow\;2x=0 \;\Longrightarrow\;x=0,
que é o eixo vertical.

Passo 5

Para montar o mapa de contorno, basta escolher vários valores de k (por exemplo k=-2,\,-1/2,\,0,\,1/2,\,2) e desenhar as retas correspondentes:
k=-2:\;(1+2)x+(1-2)y=0\;\Longrightarrow\;3x - y=0,\quad y=3x,
k=-\tfrac12:\;(1+\tfrac12)x+(1-\tfrac12)y=0\;\Longrightarrow\;\tfrac32x+\tfrac12y=0,\quad y=-3x,
k=0:\;1\cdot x+1\cdot y=0,\quad y=-x,
k=\tfrac12:\;(1-\tfrac12)x+(1+\tfrac12)y=0\;\Longrightarrow\;\tfrac12x+\tfrac32y=0,\quad y=-\tfrac13x,
k=2:\;(1-2)x+(1+2)y=0\;\Longrightarrow\;-x+3y=0,\quad y=\tfrac13x,
além de y=0 para k=1 e x=0 para k=-1. No gráfico todas essas retas se cruzam na origem, e a região proibida y=x aparece como assíntota onde f não está definida.

Resposta

As curvas de nível de
f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}=k
são as retas
(1-k)\,x+(1+k)\,y=0,
que para k\neq\pm1 têm coeficiente angular m=-\tfrac{1-k}{1+k}, e para k=1 e k=-1 reduzem-se respectivamente aos eixos y=0 e x=0. Desenhando essas retas para vários valores de k obtém-se o mapa de contorno pedido.

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