Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contorno de
ou seja, desenhar no plano várias curvas de nível definidas por
para diferentes valores de
. Vamos precisar achar a equação em
e
de cada curva de nível, entender o domínio (onde
) e ver que tipo de curvas aparecem.
Passo 2
Começamos impondo
Multiplicando ambos os lados por
, vem
Desenvolvendo e reunindo termos em
e
, obtemos
Passo 3
A equação
é a forma geral de cada curva de nível
. Para
isso representa retas que passam pela origem com coeficiente angular
Como
no domínio, excluímos a bissetriz
.
Passo 4
Ficam dois casos especiais:
- Se
, a equação reduz a
que é o eixo horizontal.
2. Se , vem
2. Se
que é o eixo vertical.
Passo 5
Para montar o mapa de contorno, basta escolher vários valores de
(por exemplo
) e desenhar as retas correspondentes:
além de
para
e
para
. No gráfico todas essas retas se cruzam na origem, e a região proibida
aparece como assíntota onde
não está definida.
Resposta
As curvas de nível de
são as retas
que para
têm coeficiente angular
, e para
e
reduzem-se respectivamente aos eixos
e
. Desenhando essas retas para vários valores de
obtém-se o mapa de contorno pedido.