Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=y^{2}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função de duas variáveis
f(x,y)=y^{2}-x^{2}.
O conteúdo aqui é reconhecimento de um paraboloide hiperbólico (sela), para o qual usaremos curvas de nível e cortes por planos coordenados.

Passo 2

Vamos analisar as curvas de nível definidas por
y^{2}-x^{2}=c,
onde c\in\mathbb{R} é constante.
  • Se c>0, temos
\frac{y^{2}}{c}-\frac{x^{2}}{c}=1,
que são hipérboles com eixos paralelos ao eixo y.
  • Se c<0, escrevendo c=-d com d>0,
\frac{x^{2}}{d}-\frac{y^{2}}{d}=1,
são hipérboles com eixos paralelos ao eixo x.
  • Se c=0, a curva degenera nas retas
y^{2}-x^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad y=\pm x.

Passo 3

Agora façamos cortes por planos coordenados para entender a geometria 3D.
  1. Plano y=0:
z=f(x,0)=0^{2}-x^{2}=-x^{2},
que é uma parábola no plano xz abrindo para baixo.
  1. Plano x=0:
z=f(0,y)=y^{2}-0^{2}=y^{2},
que é uma parábola no plano yz abrindo para cima.

Passo 4

Observamos que ao longo das retas y=x e y=-x temos
f(x,x)=x^{2}-x^{2}=0 \quad\text{e}\quad f(x,-x)=(-x)^{2}-x^{2}=0,
ou seja, a superfície toca o plano z=0 nessas duas direções. Essas retas são as “cristas” e “vales” da sela.

Passo 5

Com as curvas de nível hiperbólicas e as parábolas nos cortes, concluímos que o gráfico é um paraboloide hiperbólico (sela):
  • Em direção ao eixo y a superfície abre para cima.
  • Em direção ao eixo x a superfície abre para baixo.
  • As retas y=\pm x são linhas de sela onde z=0.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=y^{2}-x^{2} é um paraboloide hiperbólico (sela), com curvas de nível hipérboles e cortes parabólicos conforme descrito.

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