Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por Re(z) <= 0. e -pi < Im(z) <= pi quando submetido a f(z).
Assuma f(z) = Im[e^z + 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mapear um conjunto de pontos que estão na região onde a parte real de é menor ou igual a zero ( ) e a parte imaginária de está entre e ( ). Vamos precisar usar o conceito de função complexa, especificamente a função dada . Para resolver, vamos analisar como essa função transforma os pontos dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é quando é um número complexo. Se , onde e , então . Usando a fórmula de Euler, sabemos que . Assim, .

Passo 3

Agora, vamos somar 1 a :
A parte imaginária dessa expressão é . Portanto,

Passo 4

Nosso objetivo é mapear a região onde e através da função . Vamos analisar como se comporta nessa região:
  • Como , varia entre 0 e 1.
  • O seno de , , varia entre -1 e 1 para nesse intervalo.

Passo 5

Portanto, irá produzir valores que variam entre e . Como para , os valores de estarão entre -1 e 1.

Resposta

O mapeamento da região definida por e através da função resulta em variando entre -1 e 1.

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