Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mapear um conjunto de pontos que estão na região onde a parte real de
é menor ou igual a zero (
) e a parte imaginária de
está entre
e
(
). Vamos precisar usar o conceito de função complexa, especificamente a função dada
. Para resolver, vamos analisar como essa função transforma os pontos dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
quando
é um número complexo. Se
, onde
e
, então
. Usando a fórmula de Euler, sabemos que
. Assim,
.
Passo 3
Agora, vamos somar 1 a
:
A parte imaginária dessa expressão é
. Portanto,
Passo 4
Nosso objetivo é mapear a região onde
e
através da função
. Vamos analisar como
se comporta nessa região:
- Como
, varia entre 0 e 1. - O seno de
, , varia entre -1 e 1 para nesse intervalo.
Passo 5
Portanto,
irá produzir valores que variam entre
e
. Como
para
, os valores de
estarão entre -1 e 1.
Resposta
O mapeamento da região definida por
e
através da função
resulta em
variando entre -1 e 1.