Calcule a derivada de f(z) = (3 e^(2 z) - i e^(-z)) / (z - 1 + i) identificando o domínio em que o resultado é válido. Escolha um ponto deste domínio e calcule o valor da derivada

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função , identificar o domínio onde essa derivada é válida e, em seguida, escolher um ponto nesse domínio para calcular o valor da derivada. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada de . Como é uma fração onde o numerador e o denominador são funções de , vamos aplicar a regra do quociente. Essa regra é usada para derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 3

A regra do quociente diz que se temos uma função , então a derivada de é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Simplificando mais:
Sabendo que :
Agrupando termos semelhantes:

Passo 7

Portanto, a derivada fica:

Passo 8

Agora, vamos identificar o domínio onde essa derivada é válida. A derivada de existe para todos os valores de onde o denominador não é zero. Então, o domínio é:

Passo 9

Vamos escolher um ponto nesse domínio para calcular o valor da derivada. Vamos escolher , pois é um número simples e está no domínio, já que .

Passo 10

Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando:
Calculando :
Então:

Resposta

Portanto, a derivada de no ponto é:

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