Calcule todos os valores de z que satisfazem a expressão e^(z-1) = -i e^(3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que pede para encontrar todos os valores de que satisfazem . Aqui, estamos lidando com exponenciais de números complexos, então vamos usar alguns conceitos de matemática complexa para resolver isso. Vamos precisar entender como manipular exponenciais e logaritmos no contexto dos números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. Temos:
Podemos dividir ambos os lados por para isolar a exponencial com :

Passo 3

Agora, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para resolver para :
Lembrando que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos:

Passo 4

Calculando :
Agora, precisamos calcular . Para isso, vamos expressar na forma polar. Sabemos que tem magnitude 1 e ângulo radianos. Então:
Aqui, é qualquer número inteiro, representando as múltiplas soluções que aparecem devido à periodicidade dos ângulos em números complexos.

Passo 5

Substituindo de volta na equação para :
Agora, isolamos adicionando 1 aos dois lados:

Resposta

Todos os valores de que satisfazem a equação são dados por:
é

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