- Faça uma mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas:\left{x^{\mu}\right}=(t, x, y, z) \quad \longrightarrow \quad\left{x{\mu{\prime}}\right}=(t, r, \theta, \varphi)$$
(e) Calcule os elementos
da métrica em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para transformar a métrica do sistema de coordenadas cartesianas
para coordenadas esféricas
e, especificamente, calcular os elementos
da métrica na nova base.
Informações e hipóteses dadas (ou necessárias):
Informações e hipóteses dadas (ou necessárias):
- As coordenadas esféricas estão relacionadas às cartesianas por
- Vou assumir a métrica de Minkowski no sistema cartesiano com assinatura
, isto é
- O objetivo final é apresentar explicitamente os componentes
na base .
Passo 2
Qual a fórmula que usamos para transformar métricas? Há duas formas equivalentes:
- Transformar
para com a regra covariante
- Ou transformar diretamente o inverso da métrica (o tensor contravariante) usando
Eu escolho calcular primeiro
usando a primeira fórmula porque as derivadas
(jacobiano direto:
em função de
) têm expressões simples e isso facilita ver que a métrica resultante será diagonal; depois inverto facilmente a matriz diagonal para obter
. Vou explicar cada passo devagarinho.
Passo 3
Calcular as derivadas
necessárias (peguei as relações cartesianas das coordenadas esféricas acima).
As derivadas não nulas são:
As derivadas não nulas são:
Essas expressões vêm diretamente das fórmulas
, etc., diferenciando em cada variável.
Passo 4
Agora aplico a fórmula para
. Primeiro o componente temporal:
Como as coordenadas espaciais não dependem de
, os termos mistos
são nulos.
Para os componentes espaciais usamos soma sobre
com sinal positivo (já que
na cartesiana):
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
Agrupando:
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
Juntando tudo, a métrica covariante em coordenadas esféricas fica diagonal:
Passo 5
Agora queremos
. Para uma matriz diagonal, o inverso é obtido invertendo cada elemento da diagonal. Assim:
Em palavras: os únicos componentes não nulos de
são os diagonais, com as inversões correspondentes. Isto também pode ser visto aplicando a regra contravariante diretamente, mas inverter a matriz diagonal é mais direto e seguro.
Resposta
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