1. Faça uma mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas:\left{x^{\mu}\right}=(t, x, y, z) \quad \longrightarrow \quad\left{x{\mu{\prime}}\right}=(t, r, \theta, \varphi)$$
(e) Calcule os elementos \left\{g^{\alpha^{\prime} \beta^{\prime}}\right\} da métrica em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a métrica do sistema de coordenadas cartesianas \{x^\mu\}=(t,x,y,z) para coordenadas esféricas \{x^{\mu'}\}=(t,r,\theta,\varphi) e, especificamente, calcular os elementos \{g^{\alpha'\beta'}\} da métrica na nova base.
Informações e hipóteses dadas (ou necessárias):
  • As coordenadas esféricas estão relacionadas às cartesianas por
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta,\qquad t=t.
  • Vou assumir a métrica de Minkowski no sistema cartesiano com assinatura (-+++), isto é
g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1), \qquad g^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1).
  • O objetivo final é apresentar explicitamente os componentes g^{\alpha'\beta'} na base (t,r,\theta,\varphi).

Passo 2

Qual a fórmula que usamos para transformar métricas? Há duas formas equivalentes:
  • Transformar g_{\mu\nu} para g_{\alpha'\beta'} com a regra covariante
g_{\alpha'\beta'} = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\alpha'}}\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\beta'}}\,g_{\mu\nu}.
  • Ou transformar diretamente o inverso da métrica (o tensor contravariante) usando
g^{\alpha'\beta'} = \frac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^\mu}\frac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^\nu}\,g^{\mu\nu}.
Eu escolho calcular primeiro g_{\alpha'\beta'} usando a primeira fórmula porque as derivadas \partial x^\mu/\partial x^{\alpha'} (jacobiano direto: (x,y,z,t) em função de (r,\theta,\varphi,t)) têm expressões simples e isso facilita ver que a métrica resultante será diagonal; depois inverto facilmente a matriz diagonal para obter g^{\alpha'\beta'}. Vou explicar cada passo devagarinho.

Passo 3

Calcular as derivadas \partial x^\mu/\partial x^{\alpha'} necessárias (peguei as relações cartesianas das coordenadas esféricas acima).
As derivadas não nulas são:
\frac{\partial t}{\partial t}=1,
\frac{\partial x}{\partial r}=\sin\theta\cos\varphi,\qquad \frac{\partial x}{\partial\theta}=r\cos\theta\cos\varphi,\qquad \frac{\partial x}{\partial\varphi}=-r\sin\theta\sin\varphi,
\frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta\sin\varphi,\qquad \frac{\partial y}{\partial\theta}=r\cos\theta\sin\varphi,\qquad \frac{\partial y}{\partial\varphi}=r\sin\theta\cos\varphi,
\frac{\partial z}{\partial r}=\cos\theta,\qquad \frac{\partial z}{\partial\theta}=-r\sin\theta,\qquad \frac{\partial z}{\partial\varphi}=0.
Essas expressões vêm diretamente das fórmulas x=r\sin\theta\cos\varphi, etc., diferenciando em cada variável.

Passo 4

Agora aplico a fórmula para g_{\alpha'\beta'}. Primeiro o componente temporal:
g_{tt}=g_{\mu\nu}\frac{\partial x^\mu}{\partial t}\frac{\partial x^\nu}{\partial t} =g_{tt}^{(\text{cart})}\cdot1\cdot1=-1.
Como as coordenadas espaciais não dependem de t, os termos mistos g_{t r},g_{t\theta},g_{t\varphi} são nulos.
Para os componentes espaciais usamos soma sobre x,y,z com sinal positivo (já que g_{ij}=\delta_{ij} na cartesiana):
  • Cálculo de g_{rr}:
g_{rr}=\sum_{i=x,y,z}\frac{\partial i}{\partial r}\frac{\partial i}{\partial r} =(\sin\theta\cos\varphi)^2+(\sin\theta\sin\varphi)^2+(\cos\theta)^2=1.
  • Cálculo de g_{r\theta}:
g_{r\theta}=\sum_{i}\frac{\partial i}{\partial r}\frac{\partial i}{\partial\theta} =\sin\theta\cos\varphi\cdot r\cos\theta\cos\varphi +\sin\theta\sin\varphi\cdot r\cos\theta\sin\varphi +\cos\theta\cdot(-r\sin\theta).
Agrupando:
g_{r\theta}=r\sin\theta\cos\theta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)-r\sin\theta\cos\theta=0.
  • Cálculo de g_{\theta\theta}:
g_{\theta\theta}=\sum_{i}\left(\frac{\partial i}{\partial\theta}\right)^{2} =(r\cos\theta\cos\varphi)^2+(r\cos\theta\sin\varphi)^2+(-r\sin\theta)^2=r^2.
  • Cálculo de g_{r\varphi}:
g_{r\varphi}=\sum_{i}\frac{\partial i}{\partial r}\frac{\partial i}{\partial\varphi} =\sin\theta\cos\varphi\cdot(-r\sin\theta\sin\varphi) +\sin\theta\sin\varphi\cdot(r\sin\theta\cos\varphi)+\cos\theta\cdot0=0.
  • Cálculo de g_{\theta\varphi}:
g_{\theta\varphi}=\sum_{i}\frac{\partial i}{\partial\theta}\frac{\partial i}{\partial\varphi} =(r\cos\theta\cos\varphi)(-r\sin\theta\sin\varphi)+(r\cos\theta\sin\varphi)(r\sin\theta\cos\varphi)+0=0.
  • Cálculo de g_{\varphi\varphi}:
g_{\varphi\varphi}=\sum_{i}\left(\frac{\partial i}{\partial\varphi}\right)^{2} =(-r\sin\theta\sin\varphi)^2+(r\sin\theta\cos\varphi)^2+0=r^2\sin^2\theta.
Juntando tudo, a métrica covariante em coordenadas esféricas fica diagonal:
g_{\alpha'\beta'}=\mathrm{diag}\big(-1,\;1,\;r^2,\;r^2\sin^2\theta\big).

Passo 5

Agora queremos g^{\alpha'\beta'}. Para uma matriz diagonal, o inverso é obtido invertendo cada elemento da diagonal. Assim:
g^{\alpha'\beta'}=\mathrm{diag}\big(-1,\;1,\;r^{-2},\;r^{-2}\sin^{-2}\theta\big).
Em palavras: os únicos componentes não nulos de g^{\alpha'\beta'} são os diagonais, com as inversões correspondentes. Isto também pode ser visto aplicando a regra contravariante diretamente, mas inverter a matriz diagonal é mais direto e seguro.

Resposta

g^{tt}=-1
g^{rr}=1
g^{\theta\theta}=\dfrac{1}{r^{2}}
g^{\varphi\varphi}=\dfrac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}
Todos os outros g^{\alpha'\beta'}=0 para \alpha'\ne\beta'.

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