1. Faça uma mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas:\left{x^{\mu}\right}=(t, x, y, z) \quad \longrightarrow \quad\left{x{\mu{\prime}}\right}=(t, r, \theta, \varphi)$$
(d) Calcule os elementos \left\{g_{\alpha^{\prime} \beta^{\prime}}\right\} da métrica em coordenadas esféricas e escreva o elemento de linha nesse sistema de coordenadas.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (em linguagem clara):
  • Coordenadas iniciais (cartesianas): \{x^\mu\}=(t,x,y,z).
  • Coordenadas finais (esféricas): \{x^{\mu'}\}=(t,r,\theta,\varphi).
  • Pede-se calcular os elementos da métrica \{g_{\alpha'\beta'}\} no sistema esférico e escrever o elemento de linha (ou seja, ds^2 em (t,r,\theta,\varphi)).
  • Vou assumir que a métrica original em coordenadas cartesianas é a métrica de Minkowski plana com assinatura (-+++):
\eta_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1).
  • Relações entre as coordenadas (que utilizarei): \;r\ge0,\;0\le\theta\le\pi,\;0\le\varphi<2\pi.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a transformação de coordenadas (peguei estas relações da mudança padrão cartesianas \to esféricas):
t = t, \qquad x = r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y = r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z = r\cos\theta.
Estas são as fórmulas que expressam (x,y,z) em função de (r,\theta,\varphi).

Passo 3

Vou calcular os diferenciais dx,dy,dz usando regra da cadeia (produto e soma), porque o elemento de linha é expresso em dt,dx,dy,dz.
Calculemos term a term:
dx = \frac{\partial x}{\partial r}\,dr + \frac{\partial x}{\partial \theta}\,d\theta + \frac{\partial x}{\partial \varphi}\,d\varphi
Substituindo as derivadas parciais:
dx = \sin\theta\cos\varphi\,dr + r\cos\theta\cos\varphi\,d\theta - r\sin\theta\sin\varphi\,d\varphi.
dy = \frac{\partial y}{\partial r}\,dr + \frac{\partial y}{\partial \theta}\,d\theta + \frac{\partial y}{\partial \varphi}\,d\varphi
dy = \sin\theta\sin\varphi\,dr + r\cos\theta\sin\varphi\,d\theta + r\sin\theta\cos\varphi\,d\varphi.
dz = \frac{\partial z}{\partial r}\,dr + \frac{\partial z}{\partial \theta}\,d\theta + \frac{\partial z}{\partial \varphi}\,d\varphi
dz = \cos\theta\,dr - r\sin\theta\,d\theta + 0\cdot d\varphi.

Passo 4

Agora formamos dx^2+dy^2+dz^2. Vou expandir e agrupar os termos cuidadosamente para ver os coeficientes de dr^2, d\theta^2, d\varphi^2 e os termos cruzados (que devem cancelar).
Primeiro, o coeficiente de dr^2 vem das somas das quadraturas das componentes de dr:
(\sin\theta\cos\varphi)^2 + (\sin\theta\sin\varphi)^2 + (\cos\theta)^2 = \sin^2\theta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)+\cos^2\theta = \sin^2\theta+\cos^2\theta =1.
Portanto o termo em dr^2 é simplesmente dr^2.
Segundo, o coeficiente de d\theta^2 vem das somas das quadraturas das componentes de d\theta multiplicadas por r^2:
(r\cos\theta\cos\varphi)^2 + (r\cos\theta\sin\varphi)^2 + (-r\sin\theta)^2 = r^2\big(\cos^2\theta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)+\sin^2\theta\big) = r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = r^2.
Logo o termo em d\theta^2 é r^2 d\theta^2.
Terceiro, o coeficiente de d\varphi^2 vem das somas das quadraturas das componentes de d\varphi multiplicadas por r^2:
(-r\sin\theta\sin\varphi)^2 + (r\sin\theta\cos\varphi)^2 + 0 = r^2\sin^2\theta(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi) = r^2\sin^2\theta.
Portanto o termo em d\varphi^2 é r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2.
Agora os termos cruzados. Vou mostrar que todos os coeficientes dos termos cruzados são zero.
Coeficiente de dr\,d\theta (pela soma das contribuições de dx,dy,dz):
2\big(\sin\theta\cos\varphi\cdot r\cos\theta\cos\varphi + \sin\theta\sin\varphi\cdot r\cos\theta\sin\varphi + \cos\theta\cdot(-r\sin\theta)\big).
Fatorando 2r\sin\theta\cos\theta e usando \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1, obtemos
2r\big(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\big)=0.
Logo não há termo dr\,d\theta.
Coeficiente de dr\,d\varphi:
2\big(\sin\theta\cos\varphi\cdot(-r\sin\theta\sin\varphi) + \sin\theta\sin\varphi\cdot r\sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\cdot 0\big) =2r\sin^2\theta\big(-\cos\varphi\sin\varphi+\sin\varphi\cos\varphi\big)=0.
Coeficiente de d\theta\,d\varphi:
2\big(r\cos\theta\cos\varphi\cdot(-r\sin\theta\sin\varphi) + r\cos\theta\sin\varphi\cdot r\sin\theta\cos\varphi + (-r\sin\theta)\cdot 0\big) =2r^2\cos\theta\sin\theta\big(-\cos\varphi\sin\varphi+\sin\varphi\cos\varphi\big)=0.
Portanto todos os termos cruzados somam zero.

Passo 5

Conclusão da álgebra espacial:
dx^2+dy^2+dz^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2.
Como a métrica de Minkowski é \,ds^2 = -dt^2 + dx^2+dy^2+dz^2\,, substituindo obtemos o elemento de linha em coordenadas esféricas:
ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2.

Passo 6

Agora relaciono isso com os componentes da métrica g_{\alpha'\beta'} na base (t,r,\theta,\varphi). Pelo resultado anterior, a métrica é diagonal e os elementos não-nulos são:
g_{tt} = -1,\qquad g_{rr}=1,\qquad g_{\theta\theta}=r^2,\qquad g_{\varphi\varphi}=r^2\sin^2\theta,
com todos os outros g_{\alpha'\beta'}=0 quando \alpha'\neq\beta'.
Também pode-se escrever a matriz da métrica (diagonal) como
\big(g_{\alpha'\beta'}\big)=\mathrm{diag}\big(-1,\,1,\,r^2,\,r^2\sin^2\theta\big).

Passo 7

Breve verificação alternativa (conectando com a fórmula geral): se for necessário usar a regra de transformação de tensores, vale
g_{\mu'\nu'} = \eta_{\alpha\beta}\,\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\mu'}}\,\frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\nu'}},
que ao aplicar às derivadas parciais correspondentes dá exatamente os componentes listados acima (cheque rápido: por exemplo \partial x^i/\partial r leva ao g_{rr}=1, etc.). Isso confirma coerência com o cálculo direto via diferenciais.

Resposta

g_{tt}=-1
g_{rr}=1
g_{\theta\theta}=r^2
g_{\varphi\varphi}=r^2\sin^2\theta
todos os demais g_{\alpha'\beta'}=0 para \alpha'\neq\beta'.
ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2

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