- Faça uma mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas:\left{x^{\mu}\right}=(t, x, y, z) \quad \longrightarrow \quad\left{x{\mu{\prime}}\right}=(t, r, \theta, \varphi)$$
(d) Calcule os elementos
da métrica em coordenadas esféricas e escreva o elemento de linha nesse sistema de coordenadas.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (em linguagem clara):
- Coordenadas iniciais (cartesianas):
. - Coordenadas finais (esféricas):
. - Pede-se calcular os elementos da métrica
no sistema esférico e escrever o elemento de linha (ou seja, em ). - Vou assumir que a métrica original em coordenadas cartesianas é a métrica de Minkowski plana com assinatura
:
- Relações entre as coordenadas (que utilizarei):
.
Passo 2
Escrevendo explicitamente a transformação de coordenadas (peguei estas relações da mudança padrão cartesianas
esféricas):
Estas são as fórmulas que expressam
em função de
.
Passo 3
Vou calcular os diferenciais
usando regra da cadeia (produto e soma), porque o elemento de linha é expresso em
.
Calculemos term a term:
Calculemos term a term:
Substituindo as derivadas parciais:
Passo 4
Agora formamos
. Vou expandir e agrupar os termos cuidadosamente para ver os coeficientes de
,
,
e os termos cruzados (que devem cancelar).
Primeiro, o coeficiente de
vem das somas das quadraturas das componentes de
:
Portanto o termo em
é simplesmente
.
Segundo, o coeficiente de
vem das somas das quadraturas das componentes de
multiplicadas por
:
Logo o termo em
é
.
Terceiro, o coeficiente de
vem das somas das quadraturas das componentes de
multiplicadas por
:
Portanto o termo em
é
.
Agora os termos cruzados. Vou mostrar que todos os coeficientes dos termos cruzados são zero.
Coeficiente de
(pela soma das contribuições de
):
Fatorando
e usando
, obtemos
Logo não há termo
.
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto todos os termos cruzados somam zero.
Passo 5
Conclusão da álgebra espacial:
Como a métrica de Minkowski é
, substituindo obtemos o elemento de linha em coordenadas esféricas:
Passo 6
Agora relaciono isso com os componentes da métrica
na base
. Pelo resultado anterior, a métrica é diagonal e os elementos não-nulos são:
com todos os outros
quando
.
Também pode-se escrever a matriz da métrica (diagonal) como
Passo 7
Breve verificação alternativa (conectando com a fórmula geral): se for necessário usar a regra de transformação de tensores, vale
que ao aplicar às derivadas parciais correspondentes dá exatamente os componentes listados acima (cheque rápido: por exemplo
leva ao
, etc.). Isso confirma coerência com o cálculo direto via diferenciais.
Resposta
todos os demais