- Para o vetor
, cujas componentes cartesianas são
calcule:
(a)
em coordenadas cartesianas;
Passo 1
O enunciado dá o vetor cujas componentes contravariantes em coordenadas cartesianas são
onde adotamos a convenção de índices de coordenadas
correspondendo a
.
O que se pede: calcular , ou seja, todas as derivadas parciais
(índice após vírgula indica derivada parcial em notação de tensores).
O que se pede: calcular
Passo 2
Explicando a notação e o que vamos fazer (passo-a-passo, como na prova):
- A vírgula na notação
significa derivada parcial: . - Os índices
(linha) e (coluna) cada um toma os valores correspondentes a . - Em coordenadas cartesianas planas (métrica euclidiana/Minkowski local dependendo do contexto) não precisamos somar termos de conexão aqui porque a notação com vírgula já indica derivada parcial pura; portanto basta calcular as derivadas parciais usuais de cálculo de cada componente do vetor em relação a cada coordenada.
- Vou calcular componente a componente
.
Passo 3
Listo as componentes para referência (cada uma em notação TeX):
Lembretes rápidos de derivadas parciais que vou usar:
-
e . -
(porque é tratado como constante quando derivamos em relação a ). -
. - Qualquer derivada em relação a
de funções que não dependem de é zero.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais componente a componente (escrevo cada vetor de derivadas
por
):
-
Para
(primeira componente ): -
Para
(segunda componente ): Explicando uma entrada:porque é constante em relação a . -
Para
(terceira componente ): Explicando:. -
Para
(quarta componente ):
Passo 5
Organizando essas derivadas em ordem de índices (linhas
; colunas
correspondendo a
) prepara-se a apresentar a matriz de componentes
. Esta montagem final será exibida na seção de resposta.