1. Para o vetor \vec{V}, cujas componentes cartesianas são \left(t, x^{2}+3 y, y^{2}+3 x, 0\right) calcule:
(a) V^{\alpha}{ }_{, \beta} em coordenadas cartesianas;

Passo 1

O enunciado dá o vetor cujas componentes contravariantes em coordenadas cartesianas são
V^\alpha = \left(t,\; x^{2}+3y,\; y^{2}+3x,\; 0\right),
onde adotamos a convenção de índices de coordenadas \{x^\mu\}=(t,x,y,z) correspondendo a \mu=0,1,2,3.
O que se pede: calcular V^{\alpha}{}_{,\beta}, ou seja, todas as derivadas parciais \partial V^\alpha/\partial x^\beta (índice após vírgula indica derivada parcial em notação de tensores).

Passo 2

Explicando a notação e o que vamos fazer (passo-a-passo, como na prova):
  • A vírgula na notação V^{\alpha}{}_{,\beta} significa derivada parcial: V^{\alpha}{}_{,\beta}=\dfrac{\partial V^\alpha}{\partial x^\beta}.
  • Os índices \alpha (linha) e \beta (coluna) cada um toma os valores 0,1,2,3 correspondentes a t,x,y,z.
  • Em coordenadas cartesianas planas (métrica euclidiana/Minkowski local dependendo do contexto) não precisamos somar termos de conexão aqui porque a notação com vírgula já indica derivada parcial pura; portanto basta calcular as derivadas parciais usuais de cálculo de cada componente do vetor em relação a cada coordenada.
  • Vou calcular componente a componente \partial V^\alpha/\partial t,\\ \partial V^\alpha/\partial x,\\ \partial V^\alpha/\partial y,\\ \partial V^\alpha/\partial z.

Passo 3

Listo as componentes para referência (cada uma em notação TeX):
V^0 = t,\qquad V^1 = x^{2}+3y,\qquad V^2 = y^{2}+3x,\qquad V^3 = 0.
Lembretes rápidos de derivadas parciais que vou usar:
  • \dfrac{\partial t}{\partial t}=1 e \dfrac{\partial t}{\partial x}=\dfrac{\partial t}{\partial y}=\dfrac{\partial t}{\partial z}=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x,\\ \dfrac{\partial}{\partial x}(3y)=0 (porque y é tratado como constante quando derivamos em relação a x).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y,\\ \dfrac{\partial}{\partial y}(3x)=0.
  • Qualquer derivada em relação a z de funções que não dependem de z é zero.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais componente a componente (escrevo cada vetor de derivadas V^\alpha{}_{,\beta} por \beta=t,x,y,z):
  • Para \alpha=0 (primeira componente V^0=t):
    \dfrac{\partial V^0}{\partial t}=1,\qquad \dfrac{\partial V^0}{\partial x}=0,\qquad \dfrac{\partial V^0}{\partial y}=0,\qquad \dfrac{\partial V^0}{\partial z}=0.
  • Para \alpha=1 (segunda componente V^1=x^{2}+3y):
    \dfrac{\partial V^1}{\partial t}=0,\qquad \dfrac{\partial V^1}{\partial x}=2x,\qquad \dfrac{\partial V^1}{\partial y}=3,\qquad \dfrac{\partial V^1}{\partial z}=0.
    Explicando uma entrada: \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+3y)=0+3=3 porque x^2 é constante em relação a y.
  • Para \alpha=2 (terceira componente V^2=y^{2}+3x):
    \dfrac{\partial V^2}{\partial t}=0,\qquad \dfrac{\partial V^2}{\partial x}=3,\qquad \dfrac{\partial V^2}{\partial y}=2y,\qquad \dfrac{\partial V^2}{\partial z}=0.
    Explicando: \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2}+3x)=0+3=3.
  • Para \alpha=3 (quarta componente V^3=0):
    \dfrac{\partial V^3}{\partial t}=0,\qquad \dfrac{\partial V^3}{\partial x}=0,\qquad \dfrac{\partial V^3}{\partial y}=0,\qquad \dfrac{\partial V^3}{\partial z}=0.

Passo 5

Organizando essas derivadas em ordem de índices (linhas \alpha=0,1,2,3; colunas \beta=0,1,2,3 correspondendo a t,x,y,z) prepara-se a apresentar a matriz de componentes V^{\alpha}{}_{,\beta}. Esta montagem final será exibida na seção de resposta.

Resposta

V^{\alpha}{}_{,\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2x & 3 & 0 \\\\ 0 & 3 & 2y & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

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