Faça as operações indicadas para os complexos abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potencia do número complexo
.
Informações dadas: o número complexo base é e o expoente é
.
O objetivo final é obter um número complexo na forma retangular (ou equivalente).
Informações dadas: o número complexo base é
O objetivo final é obter um número complexo na forma retangular
Passo 2
Método escolhido (sem enrolar): transformar o número complexo para a forma polar e aplicar a fórmula de De Moivre. Vou explicar as fórmulas e o que cada símbolo significa.
- Qualquer complexo
pode ser escrito em forma polar como
onde
é o módulo (distância ao zero) e
é o argumento (ângulo), que dá a direção do vetor no plano complexo. Aqui
e
são as partes real e imaginária de
.
- A fórmula de De Moivre diz que, para inteiro
,
Ou seja: eleva-se o módulo à potência e multiplica-se o ângulo por
.
Agora aplicamos isso ao nosso número.
Passo 3
Calcular o módulo
de
.
Para uma raiz próxima de 1 é prático usar a expansão
com
. Calculando:
Portanto
Assim tomamos
Passo 4
Calcular o argumento
. Como a parte real é positiva, podemos usar
.
Para
pequeno usamos a série de Taylor:
com
. Calculando termos:
Então
Portanto
Passo 5
Aplicar De Moivre: precisamos de
e de
.
Primeiro
. É conveniente usar logaritmos:
Como
é muito próximo de 1 usamos
com
. Calculando:
Multiplicando por
:
Logo
Para
pequeno usamos a série
. Tomando
:
Somando:
Arredondando de forma consistente, tomamos
Passo 6
Calcular
e as funções trigonométricas.
Observe que
, então
Usamos as identidades
com
. Assim precisamos de
e
para
pequeno.
Usamos séries:
Calculemos
:
Agora:
Portanto
Passo 7
Montar o resultado em forma retangular usando
Calculando a parte real:
Calculando a parte imaginária:
Arredondando de forma consistente (mantendo 6 casas decimais nesses cálculos intermediários), obtemos o número complexo final.