Faça as operações indicadas para os complexos abaixo:
(1+j 0.06)^{50}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potencia do número complexo (1+j\,0,06)^{50}.
Informações dadas: o número complexo base é (1+j\,0,06) e o expoente é 50.
O objetivo final é obter um número complexo na forma retangular a + j\,b (ou equivalente).

Passo 2

Método escolhido (sem enrolar): transformar o número complexo para a forma polar e aplicar a fórmula de De Moivre. Vou explicar as fórmulas e o que cada símbolo significa.
  • Qualquer complexo z = a + j\,b pode ser escrito em forma polar como
z = r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big) = r\,e^{j\theta},
onde
r = \sqrt{a^{2}+b^{2}}
é o módulo (distância ao zero) e
\theta = \operatorname{atan2}(b,a)
é o argumento (ângulo), que dá a direção do vetor no plano complexo. Aqui a e b são as partes real e imaginária de z.
  • A fórmula de De Moivre diz que, para inteiro n,
\big(r\,e^{j\theta}\big)^{n} = r^{n} e^{j n\theta} = r^{n}\big(\cos(n\theta)+j\sin(n\theta)\big).
Ou seja: eleva-se o módulo à potência e multiplica-se o ângulo por n.
Agora aplicamos isso ao nosso número.

Passo 3

Calcular o módulo r de z=1+j\,0,06.
r=\sqrt{1^{2}+0,06^{2}}=\sqrt{1+0,0036}=\sqrt{1,0036}.
Para uma raiz próxima de 1 é prático usar a expansão \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\tfrac{\varepsilon}{2}-\tfrac{\varepsilon^{2}}{8} com \varepsilon=0,0036. Calculando:
\varepsilon=0,0036,\qquad \frac{\varepsilon}{2}=0,0018,\qquad \frac{\varepsilon^{2}}{8}=\frac{(0,0036)^{2}}{8}=0,00000162.
Portanto
r\approx 1+0,0018-0,00000162=1,00179838.
Assim tomamos
r\approx 1,00179838.

Passo 4

Calcular o argumento \theta. Como a parte real é positiva, podemos usar \theta=\arctan\!\big(\tfrac{b}{a}\big)=\arctan(0,06).
Para \arctan(x) pequeno usamos a série de Taylor:
\arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \cdots
com x=0,06. Calculando termos:
x=0,06,\quad x^{3}=0,000216,\quad x^{5}=0,0000007776.
Então
\theta \approx 0,06 - \frac{0,000216}{3} + \frac{0,0000007776}{5} =0,06 - 0,000072 + 0,00000015552 \approx 0,05992815512.
Portanto
\theta\approx 0,05992815512\\ \text{(radianos)}.

Passo 5

Aplicar De Moivre: precisamos de r^{50} e de 50\theta.
Primeiro r^{50}. É conveniente usar logaritmos:
\ln r = \ln(1,00179838).
Como r é muito próximo de 1 usamos \ln(1+\delta)\approx \delta - \tfrac{\delta^{2}}{2} com \delta=r-1=0,00179838. Calculando:
\delta=0,00179838,\quad \delta^{2}=0,0000032342,\quad \frac{\delta^{2}}{2}=0,0000016171,
\ln r\approx 0,00179838-0,0000016171=0,0017967629.
Multiplicando por 50:
50\ln r \approx 50\cdot 0,0017967629 = 0,089838145.
Logo
r^{50}=e^{50\ln r}\approx e^{0,089838145}.
Para e^{x} pequeno usamos a série e^{x}\approx 1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{6}. Tomando x=0,089838145:
x^{2}=0,0080709,\quad \frac{x^{2}}{2}=0,00403545,\quad x^{3}\approx 0,0007261,\quad \frac{x^{3}}{6}\approx 0,00012102.
Somando:
r^{50}\approx 1 + 0,089838145 + 0,00403545 + 0,00012102 \approx 1,0939946.
Arredondando de forma consistente, tomamos
r^{50}\approx 1,093997.

Passo 6

Calcular 50\theta e as funções trigonométricas.
50\theta \approx 50\cdot 0,05992815512 = 2,996407756.
Observe que \pi\approx 3,141592654, então
\pi - 50\theta \approx 3,141592654 - 2,996407756 = 0,145184898.
Usamos as identidades
\cos(50\theta)=\cos(\pi-(\pi-50\theta))=\cos(\pi - x) = -\cos x,
\sin(50\theta)=\sin(\pi - x)=\sin x,
com x=0,145184898. Assim precisamos de \cos x e \sin x para x pequeno.
Usamos séries:
\cos x \approx 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24},\qquad \sin x \approx x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}.
Calculemos x^{2},x^{3},x^{4},x^{5}:
x=0,145184898,
x^{2}\approx 0,0210825,\quad x^{3}\approx 0,0030577,\quad x^{4}\approx 0,00044445,\quad x^{5}\approx 0,0000645.
Agora:
\cos x \approx 1 - \frac{0,0210825}{2} + \frac{0,00044445}{24} =1 - 0,01054125 + 0,00001852 \approx 0,98947727,
\sin x \approx 0,145184898 - \frac{0,0030577}{6} + \frac{0,0000645}{120} =0,145184898 - 0,00050962 + 0,00000054 \approx 0,1446764.
Portanto
\cos(50\theta)\approx -0,98947727,\qquad \sin(50\theta)\approx 0,1446764.

Passo 7

Montar o resultado em forma retangular usando
(r^{50})\big(\cos(50\theta)+j\sin(50\theta)\big).
Calculando a parte real:
\operatorname{Re} \approx r^{50}\cos(50\theta)\approx 1,093997\cdot(-0,98947727)\approx -1,082485.
Calculando a parte imaginária:
\operatorname{Im} \approx r^{50}\sin(50\theta)\approx 1,093997\cdot 0,1446764\approx 0,158275.
Arredondando de forma consistente (mantendo 6 casas decimais nesses cálculos intermediários), obtemos o número complexo final.

Resposta

-1,082485 + j\,0,158275

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