Seja A um número complexo, encontre A nas equações abaixo
A^{3}-A^{2}+A=1

Passo 1

O enunciado pede: "Seja A um número complexo, encontre A que satisfaça a equação
A^{3}-A^{2}+A=1.
Informações relevantes dadas: a incógnita é A e é permitida a solução em números complexos; a equação é um polinômio cúbico igual a 1. Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Primeiro passo algébrico padrão: transportar todos os termos para o mesmo lado para obter um polinômio igual a zero. Subtraindo 1 dos dois lados obtemos
A^{3}-A^{2}+A-1=0.
Isso é útil porque procurar raízes de um polinômio costuma ser mais direto quando ele está igualado a zero.

Passo 3

Vou tentar fatorar o polinômio. Uma técnica simples e poderosa é a fatoração por agrupamento: agrupar termos de modo a extrair fatores comuns. Aqui podemos agrupar como
(A^{3}-A^{2})+(A-1).
Na agrupamento, procuramos um fator comum em cada parêntese.

Passo 4

Fatorando cada grupo: em A^{3}-A^{2} o fator comum é A^{2}, ficando A^{2}(A-1). No segundo grupo A-1 já é um fator. Então
A^{3}-A^{2}+A-1 = A^{2}(A-1)+(A-1).
Agora vemos um fator comum A-1 em toda a soma.

Passo 5

Colocando A-1 em evidência:
A^{2}(A-1)+(A-1)=(A-1)(A^{2}+1).
Portanto a equação original passa a ser
(A-1)(A^{2}+1)=0.
Isto reduz o problema a resolver duas equações mais simples: A-1=0 ou A^{2}+1=0. Expliquei antes por que escolhi fatoração por agrupamento: é direta aqui porque o cúbico se presta a separar dois pares com A-1 comum — é a maneira mais rápida e sem usar fórmulas de resolvente.

Passo 6

Resolver A-1=0 é imediato: isso dá
A=1.
Esse é um candidato a raiz. Vou agora resolver a outra equação quadrática.

Passo 7

Resolver A^{2}+1=0 significa isolar A^{2}:
A^{2}=-1.
Aqui entra a parte “complexa”: não existe número real cujo quadrado seja -1. Introduzimos a unidade imaginária i, definida por i^{2}=-1. Assim as soluções de A^{2}=-1 são os números cuja segunda potência dá -1, isto é
A=i \quad\text{ou}\quad A=-i.
Porque (i)^{2}=-1 e (-i)^{2}=(-1)^{2}i^{2}=i^{2}=-1.

Passo 8

Resumo das soluções obtidas até agora: A=1, A=i e A=-i. Vou verificar cada uma substituindo de volta na equação original para garantir que não houve erro de fatoração.

Passo 9

Verificações:
  • Para A=1:
1^{3}-1^{2}+1=1-1+1=1,
portanto satisfaz a equação.
  • Para A=i: lembrando que i^{2}=-1 e i^{3}=i^{2}\cdot i=-i,
i^{3}-i^{2}+i = -i -(-1)+i = -i+1+i = 1,
satisfeita.
  • Para A=-i: (-i)^{2}=-1 e (-i)^{3}=(-i)^{2}\cdot(-i)=(-1)\cdot(-i)=i,
(-i)^{3}-(-i)^{2}+(-i) = i -(-1) - i = i+1-i = 1,
também satisfeita.

Passo 10

Conclusão: a fatoração estava correta e as três soluções encontradas são válidas. São raízes distintas (multiplicidade 1 cada).

Resposta

A=1
A=i
A=-i

Exercícios relacionados