Seja A um número complexo, encontre A nas equações abaixo
Passo 1
O enunciado pede: "Seja
um número complexo, encontre
que satisfaça a equação
Informações relevantes dadas: a incógnita é
e é permitida a solução em números complexos; a equação é um polinômio cúbico igual a
. Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Primeiro passo algébrico padrão: transportar todos os termos para o mesmo lado para obter um polinômio igual a zero. Subtraindo
dos dois lados obtemos
Isso é útil porque procurar raízes de um polinômio costuma ser mais direto quando ele está igualado a zero.
Passo 3
Vou tentar fatorar o polinômio. Uma técnica simples e poderosa é a fatoração por agrupamento: agrupar termos de modo a extrair fatores comuns. Aqui podemos agrupar como
Na agrupamento, procuramos um fator comum em cada parêntese.
Passo 4
Fatorando cada grupo: em
o fator comum é
, ficando
. No segundo grupo
já é um fator. Então
Agora vemos um fator comum
em toda a soma.
Passo 5
Colocando
em evidência:
Portanto a equação original passa a ser
Isto reduz o problema a resolver duas equações mais simples:
ou
. Expliquei antes por que escolhi fatoração por agrupamento: é direta aqui porque o cúbico se presta a separar dois pares com
comum — é a maneira mais rápida e sem usar fórmulas de resolvente.
Passo 6
Resolver
é imediato: isso dá
Esse é um candidato a raiz. Vou agora resolver a outra equação quadrática.
Passo 7
Resolver
significa isolar
:
Aqui entra a parte “complexa”: não existe número real cujo quadrado seja
. Introduzimos a unidade imaginária
, definida por
. Assim as soluções de
são os números cuja segunda potência dá
, isto é
Porque
e
.
Passo 8
Resumo das soluções obtidas até agora:
,
e
. Vou verificar cada uma substituindo de volta na equação original para garantir que não houve erro de fatoração.
Passo 9
Verificações:
- Para
:
portanto satisfaz a equação.
- Para
: lembrando que e ,
satisfeita.
- Para
: e ,
também satisfeita.
Passo 10
Conclusão: a fatoração estava correta e as três soluções encontradas são válidas. São raízes distintas (multiplicidade
cada).