Faça o que se pede em cada item.
(a) Considerando que todas as derivadas parciais necessárias existam e sejam contínuas, mostre que, se f(x, y) satisfizer a equação de Laplace
(1) partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0,
então
(2) ointC partial fpartial y d x-partial fpartial x d y=0
em toda curva fechada C para a qual o Teorema de Green se aplica.
(b) Prove que vale a recíproca, isto é, se a integral de linha (2) é sempre nula em toda curva fechada, então f(x, y) satisfaz à equação de Laplace (1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar uma relação entre a equação de Laplace e uma integral de linha fechada usando o Teorema de Green. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente, equações diferenciais parciais e teoremas de integração em múltiplas variáveis. Vamos precisar usar o Teorema de Green para relacionar integrais de linha com integrais duplas.

Passo 2

Começamos analisando a equação de Laplace dada por:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0
Essa equação diz que a soma das derivadas segundas de f em relação a x e y é zero. Funções que satisfazem essa equação são chamadas de harmônicas.

Passo 3

Queremos mostrar que, se f(x, y) satisfaz a equação de Laplace, então a integral de linha fechada
ointC partial fpartial y , dx - partial fpartial x , dy = 0
para qualquer curva fechada C onde o Teorema de Green se aplica.

Passo 4

Para isso, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D delimitada por C :
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
No nosso caso, identificamos:
P = partial fpartial y e Q = -partial fpartial x

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( -partial fpartial x ) = -partial^2 fpartial x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( partial fpartial y ) = partial^2 fpartial y^2

Passo 6

Substituindo essas derivadas na aplicação do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( -partial^2 fpartial x^2 - partial^2 fpartial y^2 ) , dx , dy
Como f satisfaz a equação de Laplace, então:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0
Portanto:
-( partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 ) = 0

Passo 7

Isso implica que a integral dupla é zero:
integral duplaD 0 , dx , dy = 0
Aplicando o Teorema de Green de volta à integral de linha, temos:
ointC partial fpartial y , dx - partial fpartial x , dy = 0

Resposta

Mostramos que se f(x, y) satisfaz a equação de Laplace, então a integral de linha fechada ointC partial fpartial y , dx - partial fpartial x , dy é igual a zero para toda curva fechada C onde o Teorema de Green se aplica.

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