Faça o que se pede em cada item.
(a) Considerando que todas as derivadas parciais necessárias existam e sejam contínuas, mostre que, se
satisfizer a equação de Laplace
(1)
,
então
(2)
em toda curva fechada
para a qual o Teorema de Green se aplica.
(b) Prove que vale a recíproca, isto é, se a integral de linha (2) é sempre nula em toda curva fechada, então
satisfaz à equação de Laplace (1).
(a) Considerando que todas as derivadas parciais necessárias existam e sejam contínuas, mostre que, se
(1)
então
(2)
em toda curva fechada
(b) Prove que vale a recíproca, isto é, se a integral de linha (2) é sempre nula em toda curva fechada, então
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar uma relação entre a equação de Laplace e uma integral de linha fechada usando o Teorema de Green. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente, equações diferenciais parciais e teoremas de integração em múltiplas variáveis. Vamos precisar usar o Teorema de Green para relacionar integrais de linha com integrais duplas.
Passo 2
Começamos analisando a equação de Laplace dada por:
Essa equação diz que a soma das derivadas segundas de
em relação a
e
é zero. Funções que satisfazem essa equação são chamadas de harmônicas.
Passo 3
Queremos mostrar que, se
satisfaz a equação de Laplace, então a integral de linha fechada
para qualquer curva fechada
onde o Teorema de Green se aplica.
Passo 4
Para isso, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
No nosso caso, identificamos:
Passo 5
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na aplicação do Teorema de Green, temos:
Como
satisfaz a equação de Laplace, então:
Portanto:
Passo 7
Isso implica que a integral dupla é zero:
Aplicando o Teorema de Green de volta à integral de linha, temos:
Resposta
Mostramos que se
satisfaz a equação de Laplace, então a integral de linha fechada
é igual a zero para toda curva fechada
onde o Teorema de Green se aplica.