(a) Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (i) eixo x e (ii) eixo y.
y=e^-x^2, -1 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever a integral que representa a área da superfície gerada pela rotação da curva y = e^-x^2 no intervalo -1 <= x <= 1 em torno dos eixos x e y . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o de superfícies de revolução. Precisaremos saber as fórmulas para calcular a área da superfície ao girar uma curva em torno de um dos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da superfície quando a curva gira em torno do eixo x . A fórmula geral para a área da superfície de revolução em torno do eixo x é:
Ax = 2pi integrala^b y raiz1 + (dydx)^2 , dx
Aqui, y = e^-x^2 é a função dada, e a = -1 , b = 1 são os limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos derivar y em relação a x :
dydx = ddx ( e^-x^2 ) = -2x e^-x^2
Então, o termo raiz1 + (dydx)^2 fica:
raiz1 + (-2x e^-x^2)^2 = raiz1 + 4x^2 e^-2x^2

Passo 4

Substituindo na fórmula da área de revolução em torno do eixo x , temos:
Ax = 2pi integral-1^1 e^-x^2 raiz1 + 4x^2 e^-2x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da superfície quando a curva gira em torno do eixo y . A fórmula geral para a área da superfície de revolução em torno do eixo y é:
Ay = 2pi integralc^d x raiz1 + (dxdy)^2 , dy
Mas primeiro, precisamos expressar x em função de y . Como y = e^-x^2 , temos x = raiz -ln y . Contudo, essa integral pode ser mais complicada para resolver diretamente, então é comum manter a integral em termos de x :
Ay = 2pi integral-1^1 x raiz1 + (dxdy)^2 , dy
Mas para simplificar, usamos a relação dy/dx , e a fórmula adaptada fica:
Ay = 2pi integral-1^1 y raiz1 + (dydx)^2 , dx
No entanto, essa abordagem é mais complexa, então vamos manter a integral inicial em termos de x .

Passo 6

Considerando a parametrização correta e simplificando, a área de revolução em torno do eixo y ficará:
Ay = 2pi integral-1^1 x raiz1 + (-2x e^-x^2)^2 , dx = 2pi integral-1^1 x raiz1 + 4x^2 e^-2x^2 , dx

Resposta

As integrais para a área da superfície obtida pela rotação da curva y = e^-x^2 , no intervalo -1 <= x <= 1 , são:
(i) Em torno do eixo x:
Ax = 2pi integral-1^1 e^-x^2 raiz1 + 4x^2 e^-2x^2 , dx
(ii) Em torno do eixo y:
Ay = 2pi integral-1^1 x raiz1 + 4x^2 e^-2x^2 , dx

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