(a) Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (i) eixo
e (ii) eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever a integral que representa a área da superfície gerada pela rotação da curva
no intervalo
em torno dos eixos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o de superfícies de revolução. Precisaremos saber as fórmulas para calcular a área da superfície ao girar uma curva em torno de um dos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da superfície quando a curva gira em torno do eixo
. A fórmula geral para a área da superfície de revolução em torno do eixo
é:
Aqui,
é a função dada, e
,
são os limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Então, o termo
fica:
Passo 4
Substituindo na fórmula da área de revolução em torno do eixo
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da superfície quando a curva gira em torno do eixo
. A fórmula geral para a área da superfície de revolução em torno do eixo
é:
Mas primeiro, precisamos expressar
em função de
. Como
, temos
. Contudo, essa integral pode ser mais complicada para resolver diretamente, então é comum manter a integral em termos de
:
Mas para simplificar, usamos a relação
, e a fórmula adaptada fica:
No entanto, essa abordagem é mais complexa, então vamos manter a integral inicial em termos de
.
Passo 6
Considerando a parametrização correta e simplificando, a área de revolução em torno do eixo
ficará:
Resposta
As integrais para a área da superfície obtida pela rotação da curva
, no intervalo
, são: