Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos tais que:
A soma dos quadrados das distâncias aos pontos (a, 0) e (-a, 0) seja 2 b^{2}(b>a>0).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos fixos (a,0) e (-a,0) com b>a>0 e pede o lugar geométrico dos pontos cujas somas dos quadrados das distâncias a esses dois pontos é 2b^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Pontos fixos: (a,0) e (-a,0).
  • Parâmetros: a>0 e b>a.
  • Condição para um ponto P: a soma dos quadrados das distâncias de P a esses dois pontos vale 2b^{2}.
    O que é pedido:
  • Determinar a equação cartesiana que os pontos P satisfazem.
  • Identificar geometricamente esse conjunto de pontos (o lugar geométrico).

Passo 2

Escolho um ponto genérico do plano P=(x,y). Vou escrever as duas distâncias euclidianas (ao quadrado) entre P e os pontos dados, e explicar por que uso o quadrado da distância: a distância euclidiana entre (x,y) e (x_0,y_0) é \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}; o quadrado da distância é (x-x_0)^2+(y-y_0)^2. Como a condição do enunciado envolve a soma dos quadrados das distâncias, trabalhar com esses quadrados evita raízes e simplifica a álgebra.
Distâncias ao quadrado:
  • Distância ao quadrado de P a (a,0) é (x-a)^2+(y-0)^2=(x-a)^2+y^2.
  • Distância ao quadrado de P a (-a,0) é (x+a)^2+y^2.

Passo 3

Agora escrevo a condição dada usando as expressões acima:
(x-a)^2+y^2+(x+a)^2+y^2=2b^{2}.
Vou expandir e somar termo a termo. Primeiro, expandindo os quadrados:
(x-a)^2 = x^2-2ax+a^2, \qquad (x+a)^2 = x^2+2ax+a^2.
Somando esses dois:
(x-a)^2+(x+a)^2 = (x^2-2ax+a^2)+(x^2+2ax+a^2)=2x^2+2a^2.
Agora acrescento os dois y^2 que já estavam na igualdade:
2x^2+2a^2+2y^2 = 2b^{2}.

Passo 4

Divido toda a igualdade por 2 para simplificar:
x^2+y^2+a^2 = b^{2}.
Isolando x^2+y^2 obtenho
x^2+y^2 = b^{2}-a^{2}.

Passo 5

Interpretação geométrica: a equação \;x^2+y^2=R^2\; representa um círculo de centro na origem O=(0,0) e raio R. Aqui R^2=b^{2}-a^{2}. Como foi dado b>a>0, temos b^{2}-a^{2}>0, logo R=\sqrt{b^{2}-a^{2}} é bem definido e positivo. Portanto o lugar geométrico é o círculo de centro na origem e raio \sqrt{b^{2}-a^{2}}.
Para fixar a ideia com um exemplo numérico rápido: se a=3 e b=5, então R=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4, ou seja, o lugar geométrico seria o círculo de raio 4 centrado na origem.

Resposta

x^2+y^2=b^{2}-a^{2}
Lugar geométrico: círculo de centro (0,0) e raio \sqrt{b^{2}-a^{2}}.

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