Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos tais que:
A soma dos quadrados das distâncias aos pontos
e
seja
.
A soma dos quadrados das distâncias aos pontos
Passo 1
O enunciado dá dois pontos fixos
e
com
e pede o lugar geométrico dos pontos cujas somas dos quadrados das distâncias a esses dois pontos é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Pontos fixos:
e . - Parâmetros:
e . - Condição para um ponto
: a soma dos quadrados das distâncias de a esses dois pontos vale .
O que é pedido: - Determinar a equação cartesiana que os pontos
satisfazem. - Identificar geometricamente esse conjunto de pontos (o lugar geométrico).
Passo 2
Escolho um ponto genérico do plano
. Vou escrever as duas distâncias euclidianas (ao quadrado) entre
e os pontos dados, e explicar por que uso o quadrado da distância: a distância euclidiana entre
e
é
; o quadrado da distância é
. Como a condição do enunciado envolve a soma dos quadrados das distâncias, trabalhar com esses quadrados evita raízes e simplifica a álgebra.
Distâncias ao quadrado:
- Distância ao quadrado de
a é . - Distância ao quadrado de
a é .
Passo 3
Agora escrevo a condição dada usando as expressões acima:
Vou expandir e somar termo a termo. Primeiro, expandindo os quadrados:
Somando esses dois:
Agora acrescento os dois
que já estavam na igualdade:
Passo 4
Divido toda a igualdade por
para simplificar:
Isolando
obtenho
Passo 5
Interpretação geométrica: a equação
representa um círculo de centro na origem
e raio
. Aqui
. Como foi dado
, temos
, logo
é bem definido e positivo. Portanto o lugar geométrico é o círculo de centro na origem e raio
.
Para fixar a ideia com um exemplo numérico rápido: se
e
, então
, ou seja, o lugar geométrico seria o círculo de raio
centrado na origem.
Resposta
Lugar geométrico: círculo de centro
e raio
.