Faça o que se pede em cada item.
Encontre
se
.
Encontre
Passo 1
O enunciado pede: encontre a derivada
(ou
) quando
.
Informações dadas: a igualdade relaciona e
implicitamente;
é função de
(ou seja,
). Não foi dada uma expressão explícita para
, por isso devemos diferenciar implicitamente em relação a
. O objetivo final é isolar
.
Informações dadas: a igualdade relaciona
Passo 2
Vou diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Primeiro, explicação rápida do que vou usar:
- Regra da cadeia: se
, então . Aqui usamos que a derivada de é e multiplicamos pela derivada do argumento. - Lembrete: toda vez que aparecer
dentro de uma expressão, ao derivar em relação a usamos .
Aplicando a regra da cadeia ao lado esquerdo
(vou escrever
na notação matemática):
Agora calcule
: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Logo
Passo 3
Agora o lado direito
. Aqui usamos a regra do produto: se
então
. Tome
e
.
- Derivada de
: por regra da cadeia, (porque derivamos em relação a obtendo e multiplicamos por ). - Derivada de
é .
Aplicando o produto:
Passo 4
Agora igualamos as derivadas dos dois lados (derivada esquerda = derivada direita):
Vou distribuir no membro esquerdo para separar os termos que têm
dos que não têm:
Agora reúno todos os termos que contêm
no mesmo membro e os que não contêm no outro membro. Para isso subtraio
e também subtraio
de ambos os lados:
Fatoro
no lado esquerdo:
Passo 5
Agora isolo
dividindo ambos os lados pelo fator entre parênteses (supondo que esse fator não seja zero; se fosse zero precisaríamos analisar separadamente, mas para fins de encontrar a expressão geral dividimos normalmente):
Se preferir uma forma com sinais trocados no numerador e denominador (multiplicando por
cima e baixo), uma alternativa equivalente é