Faça o que se pede em cada item.
Encontre y^{\prime} se \operatorname{sen}\left(x^{2}+2 y\right)=y^{3} \cos x.

Passo 1

O enunciado pede: encontre a derivada y' (ou \dfrac{dy}{dx}) quando \operatorname{sen}\bigl(x^{2}+2y\bigr)=y^{3}\cos x.
Informações dadas: a igualdade relaciona x e y implicitamente; y é função de x (ou seja, y=y(x)). Não foi dada uma expressão explícita para y, por isso devemos diferenciar implicitamente em relação a x. O objetivo final é isolar y'.

Passo 2

Vou diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Primeiro, explicação rápida do que vou usar:
  • Regra da cadeia: se H(x)=\sin(U(x)), então H'(x)=\cos(U(x))\cdot U'(x). Aqui usamos que a derivada de \sin é \cos e multiplicamos pela derivada do argumento.
  • Lembrete: toda vez que aparecer y dentro de uma expressão, ao derivar em relação a x usamos \dfrac{d}{dx}y= y'.
Aplicando a regra da cadeia ao lado esquerdo \operatorname{sen}\bigl(x^{2}+2y\bigr) (vou escrever \sin na notação matemática):
\frac{d}{dx}\Bigl[\sin\bigl(x^{2}+2y\bigr)\Bigr]=\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+2y\bigr).
Agora calcule \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}+2y\bigr): a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de 2y é 2y'. Logo
\frac{d}{dx}\Bigl[\sin\bigl(x^{2}+2y\bigr)\Bigr]=\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)\cdot\bigl(2x+2y'\bigr).

Passo 3

Agora o lado direito y^{3}\cos x. Aqui usamos a regra do produto: se F(x)=f(x)g(x) então F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). Tome f(x)=y^{3} e g(x)=\cos x.
  • Derivada de f(x)=y^{3}: por regra da cadeia, f'(x)=3y^{2}\cdot y' (porque derivamos y^{3} em relação a y obtendo 3y^{2} e multiplicamos por y'=\dfrac{dy}{dx}).
  • Derivada de g(x)=\cos x é g'(x)=-\sin x.
Aplicando o produto:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\cos x\bigr)=\bigl(3y^{2}y'\bigr)\cos x + y^{3}\bigl(-\sin x\bigr)=3y^{2}y'\cos x - y^{3}\sin x.

Passo 4

Agora igualamos as derivadas dos dois lados (derivada esquerda = derivada direita):
\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)\bigl(2x+2y'\bigr)=3y^{2}y'\cos x - y^{3}\sin x.
Vou distribuir no membro esquerdo para separar os termos que têm y' dos que não têm:
2x\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)+2y'\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)=3y^{2}y'\cos x - y^{3}\sin x.
Agora reúno todos os termos que contêm y' no mesmo membro e os que não contêm no outro membro. Para isso subtraio 3y^{2}y'\cos x e também subtraio 2x\cos(x^{2}+2y) de ambos os lados:
2y'\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)-3y^{2}y'\cos x = -2x\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)-y^{3}\sin x.
Fatoro y' no lado esquerdo:
y'\Bigl(2\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)-3y^{2}\cos x\Bigr)= -2x\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)-y^{3}\sin x.

Passo 5

Agora isolo y' dividindo ambos os lados pelo fator entre parênteses (supondo que esse fator não seja zero; se fosse zero precisaríamos analisar separadamente, mas para fins de encontrar a expressão geral dividimos normalmente):
y'=\dfrac{-2x\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)-y^{3}\sin x}{\,2\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)-3y^{2}\cos x\,}.
Se preferir uma forma com sinais trocados no numerador e denominador (multiplicando por -1 cima e baixo), uma alternativa equivalente é
y'=\dfrac{2x\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)+y^{3}\sin x}{\,3y^{2}\cos x-2\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)\,}.

Resposta

y'=\dfrac{-2x\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)-y^{3}\sin x}{\,2\cos\bigl(x^{2}+2y\bigr)-3y^{2}\cos x\,}

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