Calcule a funçāo derivada das seguintes funçōes:
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a função derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Regra principal que vamos usar (regra da cadeia): se temos uma função composta
, a derivada é dada por multiplicar a derivada da externa pelo crescimento da interna, isto é,
Explicando: a derivada de
em relação a
é
. Como
depende de
, aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por
. Aqui
é a função interna
.
Passo 3
Vamos então identificar claramente a função interna e calcular sua derivada:
Como dito, a derivada de
é
. Resta calcular a derivada de
.
Passo 4
Para derivar
usamos a regra do produto (produto de duas funções): se
, então
Aqui
e
.
- Derivada de
é . - Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de é , com temos . Em resumo,
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Agora fatoramos
para simplificar:
Podemos fatorar ainda
se quisermos:
Passo 6
Voltando à derivada da função original: pela regra da cadeia (Passo 2),
Substituindo
e
, obtemos a expressão da derivada (aqui deixo a combinação simbólica; a forma final simplificada vem na seção de resposta).