Calcule a funçāo derivada das seguintes funçōes:
f(x)=\cos \left(x^{2} e^{3 x}+\pi^{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a função derivada da função
f(x)=\cos\!\left(x^{2} e^{3 x}+\pi^{3}\right).
Informações relevantes fornecidas:
\text{A função }f\text{ está dada por }f(x)=\cos\!\big(u(x)\big)\quad\text{onde}\quad u(x)=x^{2}e^{3x}+\pi^{3}.çãá
\pi^{3} é uma constante (derivada igual a 0). Não há restrição de domínio indicada, então consideramos x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Regra principal que vamos usar (regra da cadeia): se temos uma função composta \cos\big(u(x)\big), a derivada é dada por multiplicar a derivada da externa pelo crescimento da interna, isto é,
\frac{d}{dx}\cos\big(u(x)\big) = -\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Explicando: a derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t). Como t=u(x) depende de x, aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por u'(x). Aqui u(x) é a função interna x^{2}e^{3x}+\pi^{3}.

Passo 3

Vamos então identificar claramente a função interna e calcular sua derivada:
u(x)=x^{2}e^{3x}+\pi^{3}.
Como dito, a derivada de \pi^{3} é 0. Resta calcular a derivada de v(x)=x^{2}e^{3x}.

Passo 4

Para derivar v(x)=x^{2}e^{3x} usamos a regra do produto (produto de duas funções): se v(x)=a(x)\,b(x), então
v'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x).
Aqui a(x)=x^{2} e b(x)=e^{3x}.
  • Derivada de a(x)=x^{2} é a'(x)=2x.
  • Para b(x)=e^{3x} usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{t} é e^{t}, com t=3x temos b'(x)=e^{3x}\cdot 3. Em resumo,
b'(x)=3e^{3x}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
v'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x)=2x\cdot e^{3x}+x^{2}\cdot 3e^{3x}.
Agora fatoramos e^{3x} para simplificar:
v'(x)=e^{3x}\big(2x+3x^{2}\big).
Podemos fatorar ainda x se quisermos:
v'(x)=e^{3x}\,x\,(2+3x).

Passo 6

Voltando à derivada da função original: pela regra da cadeia (Passo 2),
f'(x)=-\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^{2}e^{3x}+\pi^{3} e u'(x)=v'(x)=e^{3x}\big(2x+3x^{2}\big), obtemos a expressão da derivada (aqui deixo a combinação simbólica; a forma final simplificada vem na seção de resposta).

Resposta

f'(x)=-\sin\!\big(x^{2}e^{3x}+\pi^{3}\big)\,e^{3x}\,x\,(2+3x).

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