Faça o que se pede em cada item.
Derive implicitamente a função x^{2}+y^{2}=100 e encontre a equaçāo da reta tangente e da reta normal no ponto P=(6,8).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Derivar implicitamente a função \displaystyle x^{2}+y^{2}=100.
  • Encontrar a equação da reta tangente e da reta normal no ponto \displaystyle P=(6,8).
Informações dadas:
  • A equação implícita: \displaystyle x^{2}+y^{2}=100.
  • O ponto onde queremos as retas: \displaystyle P=(6,8).

Passo 2

O que é derivação implícita e por que usar aqui:
  • A equação envolve x e y misturados; não temos y isolado em função de x. Mesmo assim podemos achar \displaystyle \frac{dy}{dx} diferenciando ambos os lados da equação em relação a x.
  • Ao derivar termos que contêm y em relação a x, tratamos y como função de x (ou seja, y=y(x)) e aplicamos a regra da cadeia. Isso gera fatores \displaystyle \frac{dy}{dx} quando derivamos expressões com y.
Relembrando duas derivadas básicas que usaremos:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • Pela regra da cadeia, \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\cdot\frac{dy}{dx} (porque derivamos o quadrado e multiplicamos pela derivada interna \displaystyle \frac{dy}{dx}).
Vou usar a notação curta \displaystyle y'=\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Diferencio ambos os lados da equação \displaystyle x^{2}+y^{2}=100 em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}(100).
Aplicando as derivadas dos termos:
2x + 2y\,y' = 0,
pois \displaystyle \frac{d}{dx}(100)=0.

Passo 4

Isolo \displaystyle y' na equação \displaystyle 2x + 2y\,y' = 0:
2y\,y' = -2x
y' = \frac{-2x}{2y} = -\frac{x}{y}.
Portanto a derivada implícita geral é \displaystyle y' = -\frac{x}{y}.

Passo 5

Avalio a derivada no ponto \displaystyle P=(6,8) substituindo \displaystyle x=6 e \displaystyle y=8:
y'(6,8) = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}.
Interpretação: a inclinação da reta tangente à curva no ponto P é \displaystyle m_{\text{tang}}=-\frac{3}{4}.

Passo 6

Equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação \displaystyle y-y_{0}=m(x-x_{0}):
y-8 = -\frac{3}{4}(x-6).
Se quiser colocar em forma geral, multiplico por 4:
4(y-8) = -3(x-6)
4y-32 = -3x+18
3x + 4y - 50 = 0.
Ambas as formas equivalem; a primeira é mais direta na prova, a segunda é a forma geral.

Passo 7

Equação da reta normal:
  • A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é o negativo do recíproco da inclinação da tangente.
  • Como m_{\text{tang}}=-\frac{3}{4}, o declive da normal é
m_{\text{norm}} = -\frac{1}{m_{\text{tang}}} = -\frac{1}{-\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}.
Usando ponto-inclinação para a normal em P:
y-8 = \frac{4}{3}(x-6).
Colocando em forma geral (multiplicando por 3):
3(y-8) = 4(x-6)
3y-24 = 4x-24
4x - 3y = 0.
Novamente, ambas as formas são equivalentes; a forma ponto-inclinação é adequada para uma prova curta.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}
\displaystyle \text{Reta tangente: } y-8 = -\frac{3}{4}(x-6)
\displaystyle \text{Reta normal: } y-8 = \frac{4}{3}(x-6)

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