Faça o que se pede em cada item.
Derive implicitamente a função
e encontre a equaçāo da reta tangente e da reta normal no ponto
.
Derive implicitamente a função
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Derivar implicitamente a função
. - Encontrar a equação da reta tangente e da reta normal no ponto
.
Informações dadas:
- A equação implícita:
. - O ponto onde queremos as retas:
.
Passo 2
O que é derivação implícita e por que usar aqui:
- A equação envolve
e misturados; não temos isolado em função de . Mesmo assim podemos achar diferenciando ambos os lados da equação em relação a . - Ao derivar termos que contêm
em relação a , tratamos como função de (ou seja, ) e aplicamos a regra da cadeia. Isso gera fatores quando derivamos expressões com .
Relembrando duas derivadas básicas que usaremos:
-
. - Pela regra da cadeia,
(porque derivamos o quadrado e multiplicamos pela derivada interna ).
Vou usar a notação curta
.
Passo 3
Diferencio ambos os lados da equação
em relação a
:
Aplicando as derivadas dos termos:
pois
.
Passo 4
Isolo
na equação
:
Portanto a derivada implícita geral é
.
Passo 5
Avalio a derivada no ponto
substituindo
e
:
Interpretação: a inclinação da reta tangente à curva no ponto
é
.
Passo 6
Equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação
:
Se quiser colocar em forma geral, multiplico por
:
Ambas as formas equivalem; a primeira é mais direta na prova, a segunda é a forma geral.
Passo 7
Equação da reta normal:
- A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é o negativo do recíproco da inclinação da tangente.
- Como
, o declive da normal é
Usando ponto-inclinação para a normal em
:
Colocando em forma geral (multiplicando por
):
Novamente, ambas as formas são equivalentes; a forma ponto-inclinação é adequada para uma prova curta.