Faça o que se pede.
Dê um contra exemplo para mostrar que uma união de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado.

Passo 1

O enunciado pede um contra-exemplo mostrando que, mesmo unindo conjuntos fechados, podemos obter um conjunto que não é fechado. O conteúdo aqui é topologia em espaços métricos: vamos usar a definição de conjuntos fechados e pontos-límite.

Passo 2

Considere o espaço métrico
n>=1
com a métrica usual. Para cada inteiro An=1/n, definimos o conjunto An. Cada R é fechado em R porque singleton em não tem ponto-límite além do próprio elemento.

Passo 3

Agora formamos a união infinita
A=cupn=1^inftyAn=1,tfrac12,tfrac13,dots.
Vamos ver que A não é fechado.

Passo 4

Mostramos que 0 é ponto-límite de A: dado qualquer epsilon>0, escolha N tal que 1/N. Então 1/Nin A e
0
, provando que toda vizinhança de A intercepta 0 em ponto diferente de .

Passo 5

Como 0notin A mas é ponto-límite de A, concluímos que A não contém todos os seus pontos-límite e, portanto, não é fechado.

Resposta

Um exemplo concreto é tomar em R os conjuntos fechados An=1/n. Cada An é fechado, mas a união cupn=1^infty An=1,1/2,1/3,dots não é fechada, pois o ponto-límite 0 fica de fora.

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