Faça o que se pede.
Dê um contra exemplo para mostrar que uma união de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado.
Dê um contra exemplo para mostrar que uma união de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado.
Passo 1
O enunciado pede um contra-exemplo mostrando que, mesmo unindo conjuntos fechados, podemos obter um conjunto que não é fechado. O conteúdo aqui é topologia em espaços métricos: vamos usar a definição de conjuntos fechados e pontos-límite.
Passo 2
Considere o espaço métrico
com a métrica usual. Para cada inteiro , definimos o conjunto
. Cada
é fechado em
porque singleton em
não tem ponto-límite além do próprio elemento.
com a métrica usual. Para cada inteiro
Passo 3
Agora formamos a união infinita
.
Vamos ver que não é fechado.
Vamos ver que
Passo 4
Mostramos que
é ponto-límite de
: dado qualquer
, escolha
tal que
. Então
e
, provando que toda vizinhança de intercepta
em ponto diferente de
.
, provando que toda vizinhança de
Passo 5
Como
mas é ponto-límite de
, concluímos que
não contém todos os seus pontos-límite e, portanto, não é fechado.
Resposta
Um exemplo concreto é tomar em
os conjuntos fechados
. Cada
é fechado, mas a união
não é fechada, pois o ponto-límite 0 fica de fora.