Faça o que se pede.
Prove que qualquer união de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Prove que qualquer união de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que qualquer união de conjuntos abertos é aberta. Isso faz parte do estudo de Topologia, que é o ramo da matemática que trata das propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e como funciona a união de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em termos simples, num espaço topológico (como a linha dos números reais, por exemplo), um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, existe uma “bolinha” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Isso significa que você pode “andar” um pouquinho de qualquer ponto e ainda estar dentro do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a união de conjuntos. A união de uma coleção de conjuntos é simplesmente o conjunto de todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Ou seja, se você tem vários conjuntos abertos e faz a união deles, está juntando todos os pontos que estão em qualquer um desses conjuntos.
Passo 4
Para provar que a união de conjuntos abertos é aberta, vamos usar a definição de conjunto aberto. Suponha que temos uma coleção de conjuntos abertos
, onde
é um índice que pode ser finito ou infinito.
Passo 5
Queremos mostrar que
também é um conjunto aberto. Para isso, peguemos um ponto qualquer
que está na união
. Isso significa que
está em pelo menos um dos conjuntos
dessa coleção.
Passo 6
Já que
é aberto, pela definição, existe uma “bolinha” ao redor de
que está completamente dentro de
. Essa mesma “bolinha” também estará dentro da união
, porque
faz parte dessa união.
Passo 7
Como esse ponto
e uma “bolinha” ao redor dele estão na união
, isso mostra que para qualquer ponto na união, existe uma vizinhança que também está na união. Portanto, pela definição de conjunto aberto, a união
é um conjunto aberto.
Resposta
Assim, provamos que qualquer união de conjuntos abertos é um conjunto aberto.