Faça o que se pede.
Prove que qualquer união de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que qualquer união de conjuntos abertos é aberta. Isso faz parte do estudo de Topologia, que é o ramo da matemática que trata das propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e como funciona a união de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em termos simples, num espaço topológico (como a linha dos números reais, por exemplo), um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, existe uma “bolinha” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Isso significa que você pode “andar” um pouquinho de qualquer ponto e ainda estar dentro do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a união de conjuntos. A união de uma coleção de conjuntos é simplesmente o conjunto de todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Ou seja, se você tem vários conjuntos abertos e faz a união deles, está juntando todos os pontos que estão em qualquer um desses conjuntos.

Passo 4

Para provar que a união de conjuntos abertos é aberta, vamos usar a definição de conjunto aberto. Suponha que temos uma coleção de conjuntos abertos Uii in I, onde I é um índice que pode ser finito ou infinito.

Passo 5

Queremos mostrar que cupi in I Ui também é um conjunto aberto. Para isso, peguemos um ponto qualquer x que está na união cupi in I Ui. Isso significa que x está em pelo menos um dos conjuntos Uj dessa coleção.

Passo 6

Já que Uj é aberto, pela definição, existe uma “bolinha” ao redor de x que está completamente dentro de Uj. Essa mesma “bolinha” também estará dentro da união cupi in I Ui, porque Uj faz parte dessa união.

Passo 7

Como esse ponto x e uma “bolinha” ao redor dele estão na união cupi in I Ui, isso mostra que para qualquer ponto na união, existe uma vizinhança que também está na união. Portanto, pela definição de conjunto aberto, a união cupi in I Ui é um conjunto aberto.

Resposta

Assim, provamos que qualquer união de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

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