Calcule as integrais abaixo:
integral t^1 / 2 ln t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral t^1/2ln t,dt. Aqui vamos usar o conteúdo de integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u v - integral v,du, e também a regra de potência para integrar t^1/2.

Passo 2

Em integração por partes, escolhemos u como a parte que simplifica ao derivar ( ln t) e dv como o restante ( t^1/2dt). Assim, definimos:
u = ln tRightarrow du = 1t,dt
dv = t^1/2,dtRightarrow v = integral t^1/2,dt = 23t^3/2

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:
integral t^1/2ln t,dt = u,v - integral v,du = ln t cdot 23t^3/2 - integral 23t^3/2 cdot 1t,dt

Passo 4

No integrando restante, simplificamos t^3/2/t = t^1/2. Logo:
integral t^1/2ln t,dt = 23t^3/2ln t - 23 integral t^1/2,dt
E usamos novamente a regra de potência:
integral t^1/2,dt = 23t^3/2

Passo 5

Substituindo de volta e somando a constante de integração C, obtemos:
integral t^1/2ln t,dt = 23t^3/2ln t - 23 cdot 23t^3/2 + C = 23t^3/2ln t - 49t^3/2 + C

Resposta

23t^3/2ln t - 49t^3/2 + C

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