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Calcule a integral
, usando frações parciais.
Calcule a integral
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- Pedido: calcular a integral
, usando frações parciais. - Informação dada: o integrando é a função racional
.
Nada mais foi fornecido. A tarefa é decompor em frações simples e integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o denominador para ver a forma das frações parciais. Vamos fatorar
Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Portanto
Isso mostra que o denominador é produto de dois fatores lineares distintos, logo a decomposição em frações parciais terá a forma
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Explicando a ideia da decomposição: escrever a função racional como soma de termos mais simples facilita a integração porque conhecemos a primitiva de
. Aqui
multiplica o termo
e
multiplica
. Para encontrar
e
igualamos:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade (válida para todo
, exceto onde o denominador é zero):
Passo 4
Agora determinamos
Como essa expressão em
deve ser igual a
para todo
, igualamos coeficientes de
e termos constantes:
Vamos resolver esse sistema linear. De
. Substituindo na segunda equação:
Calculando:
Então
Passo 5
Substituindo
e
na decomposição obtemos
Para ficar claro, isso é
Passo 6
Agora integramos termo a termo. Lembrete útil: a primitiva básica que usaremos é
onde
é uma constante e
é a constante de integração. Essa fórmula vem do fato de que a derivada de
é
.
Aplicando isso a cada parcela (cada constante multiplicativa sai sozinho):
Somando as primitivas (e juntando constantes
e
em uma única constante
) obtemos a primitiva da função original.