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Calcule a integral \int \frac{3 x-2}{x^{2}+3 x-10} d x, usando frações parciais.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pedido: calcular a integral \displaystyle \int \frac{3 x-2}{x^{2}+3 x-10}\,dx, usando frações parciais.
  • Informação dada: o integrando é a função racional \dfrac{3x-2}{x^{2}+3x-10}.
    Nada mais foi fornecido. A tarefa é decompor em frações simples e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o denominador para ver a forma das frações parciais. Vamos fatorar
x^{2}+3x-10.
Procuramos dois números cujo produto seja -10 e cuja soma seja 3. Esses números são 5 e -2. Portanto
x^{2}+3x-10=(x+5)(x-2).
Isso mostra que o denominador é produto de dois fatores lineares distintos, logo a decomposição em frações parciais terá a forma
\frac{3x-2}{(x+5)(x-2)}=\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-2},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Explicando a ideia da decomposição: escrever a função racional como soma de termos mais simples facilita a integração porque conhecemos a primitiva de \dfrac{1}{x-a}. Aqui A multiplica o termo \dfrac{1}{x+5} e B multiplica \dfrac{1}{x-2}. Para encontrar A e B igualamos:
\frac{3x-2}{(x+5)(x-2)}=\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-2}.
Multiplicando ambos os lados por (x+5)(x-2) obtemos a identidade (válida para todo x, exceto onde o denominador é zero):
3x-2 = A(x-2)+B(x+5).

Passo 4

Agora determinamos A\) e \(B\). Desenvolvendo o lado direito: \[A(x-2)+B(x+5)=(A+B)x+(-2A+5B).
Como essa expressão em x deve ser igual a 3x-2 para todo x, igualamos coeficientes de x e termos constantes:
\begin{cases} A+B = 3,\\[4pt] -2A+5B = -2. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema linear. De A+B=3\] temos \(A=3-B. Substituindo na segunda equação:
-2(3-B)+5B=-2.
Calculando:
-6+2B+5B=-2 \quad\Rightarrow\quad 7B-6=-2 \quad\Rightarrow\quad 7B=4 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{4}{7}.
Então
A=3-B=3-\frac{4}{7}=\frac{21}{7}-\frac{4}{7}=\frac{17}{7}.]

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição obtemos
\frac{3x-2}{x^{2}+3x-10}=\frac{17/7}{x+5}+\frac{4/7}{x-2}.
Para ficar claro, isso é
\frac{3x-2}{x^{2}+3x-10}=\frac{17}{7}\cdot\frac{1}{x+5}+\frac{4}{7}\cdot\frac{1}{x-2}.

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Lembrete útil: a primitiva básica que usaremos é
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
onde a é uma constante e C é a constante de integração. Essa fórmula vem do fato de que a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}.
Aplicando isso a cada parcela (cada constante multiplicativa sai sozinho):
\int \frac{17}{7}\cdot\frac{1}{x+5}\,dx=\frac{17}{7}\ln|x+5|+C_1,
\int \frac{4}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\,dx=\frac{4}{7}\ln|x-2|+C_2.
Somando as primitivas (e juntando constantes C_1 e C_2 em uma única constante C) obtemos a primitiva da função original.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{7}\ln|x+5|+\frac{4}{7}\ln|x-2|+C

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