Questão 29. Resolva as seguintes equações de Cauchy-Euler:
x^{2} y^{\prime \prime}+0,6 x y^{\prime}+16,04 y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial (ordem 2, coeficientes dependentes de x) e pede para resolvê‑la:
x^{2}y^{\prime\prime}+0,6\,x\,y^{\prime}+16,04\,y=0.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação é homogênea e tem termos com x^{2}, x e constante multiplicando y.
  • Os coeficientes numéricos são 0,6 e 16,04.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método aplicado): vamos testar soluções do tipo y=x^{r}, com r (possivelmente complexo) a determinar. Por que isso funciona? Porque, ao derivar potências de x, as derivadas conservam potências de x com expoentes deslocados, permitindo fatorar x^{r} e reduzir a EDO a uma equação algébrica para r.
Calcule as derivadas para y=x^{r}:
y=x^{r},\qquad y^{\prime}=r\,x^{r-1},\qquad y^{\prime\prime}=r(r-1)\,x^{r-2}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na EDO e fatorando x^{r} (para x\neq0) obtemos a equação característica em r.
Substituição:
x^{2}\big(r(r-1)x^{r-2}\big)+0,6\,x\big(r x^{r-1}\big)+16,04\,x^{r}=0.
Fatorando x^{r}:
x^{r}\big(r(r-1)+0,6\,r+16,04\big)=0.
Como x^{r} não é identicamente zero, o que sobra é a equação algébrica
r(r-1)+0,6\,r+16,04=0.
Desenvolvendo:
r^{2}-r+0,6\,r+16,04=0\quad\Rightarrow\quad r^{2}-0,4\,r+16,04=0.

Passo 4

Resolver a quadrática r^{2}-0,4\,r+16,04=0. Calcula‑se o discriminante \Delta:
\Delta = (-0,4)^{2}-4\cdot 1\cdot 16,04 = 0,16-64,16 = -64,00.
O discriminante é negativo ( \Delta=-64), portanto as raízes são complexas conjugadas.
Calcule as raízes:
r=\frac{0,4\pm\sqrt{-64}}{2}=\frac{0,4\pm 8\,\mathrm{i}}{2}=0,2\pm 4\,\mathrm{i}.
Logo r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta com \alpha=0,2 e \beta=4.

Passo 5

Construção da solução real geral a partir de raízes complexas (aulasinha rápida): se as raízes da equação característica são \alpha\pm\mathrm{i}\beta, as soluções complexas são x^{\alpha\pm\mathrm{i}\beta}. Usando x^{\mathrm{i}\beta}=e^{\mathrm{i}\beta\ln x}=\cos(\beta\ln x)+\mathrm{i}\sin(\beta\ln x), obtemos duas soluções reais independentes:
x^{\alpha}\cos(\beta\ln x)\quad\text{e}\quad x^{\alpha}\sin(\beta\ln x).
Portanto a solução geral real é
y(x)=x^{\alpha}\big(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Aplicando isso aos valores \alpha=0,2 e \beta=4 encontramos a solução geral da EDO dada:
y(x)=x^{0,2}\big(C_{1}\cos(4\ln x)+C_{2}\sin(4\ln x)\big).
Observações úteis para a prova:
  • Pode escrever 0,2=\tfrac{1}{5}, isto é x^{0,2}=x^{1/5}, se preferir.
  • A forma com \ln x pressupõe x>0. Para estender a solução a x<0, use \ln|x| e possivelmente absorva sinais em C_{1},C_{2}.
Força aí — a técnica é sempre a mesma: testar y=x^{r}, achar as raízes e montar a solução conforme o tipo (reais distintas, repetidas ou complexas).

Resposta

y(x)=x^{0,2}\big(C_{1}\cos(4\ln x)+C_{2}\sin(4\ln x)\big)

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