Questão 29. Resolva as seguintes equações de Cauchy-Euler:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial (ordem 2, coeficientes dependentes de
) e pede para resolvê‑la:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A equação é homogênea e tem termos com
, e constante multiplicando . - Os coeficientes numéricos são
e . - Objetivo: encontrar a solução geral
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método aplicado): vamos testar soluções do tipo
, com
(possivelmente complexo) a determinar. Por que isso funciona? Porque, ao derivar potências de
, as derivadas conservam potências de
com expoentes deslocados, permitindo fatorar
e reduzir a EDO a uma equação algébrica para
.
Calcule as derivadas para
:
Passo 3
Substituindo essas expressões na EDO e fatorando
(para
) obtemos a equação característica em
.
Substituição:
Fatorando
:
Como
não é identicamente zero, o que sobra é a equação algébrica
Desenvolvendo:
Passo 4
Resolver a quadrática
. Calcula‑se o discriminante
:
O discriminante é negativo (
), portanto as raízes são complexas conjugadas.
Calcule as raízes:
Calcule as raízes:
Logo
com
e
.
Passo 5
Construção da solução real geral a partir de raízes complexas (aulasinha rápida): se as raízes da equação característica são
, as soluções complexas são
. Usando
, obtemos duas soluções reais independentes:
Portanto a solução geral real é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Aplicando isso aos valores
e
encontramos a solução geral da EDO dada:
Observações úteis para a prova:
- Pode escrever
, isto é , se preferir. - A forma com
pressupõe . Para estender a solução a , use e possivelmente absorva sinais em .
Força aí — a técnica é sempre a mesma: testar
, achar as raízes e montar a solução conforme o tipo (reais distintas, repetidas ou complexas).