Questão 35. Ache a solução geral da EDO
x y^{\prime \prime}-2(x+1) y^{\prime}+(x+2) y=x^{3} e^{2 x}, x>0
sabendo que a EDO homogênea associada possui uma solução da forma y=e^{m x}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumindo bem objetivo):
  • A EDO é
x\,y''-2(x+1)\,y'+(x+2)\,y=x^{3}e^{2x},\qquad x>0.
  • Pede a solução geral y(x) desta EDO.
  • Informação extra dada: a equação homogênea associada possui uma solução da forma y=e^{m x} (ou seja, existe uma solução exponencial com m constante).

Passo 2

Vamos usar a dica: testar y=e^{m x} na equação homogênea (isto é, com o lado direito igual a zero) para descobrir m e obter pelo menos uma solução conhecida.
Substituindo y=e^{m x} na homogênea e calculando derivadas:
y' = m e^{m x},\qquad y''=m^{2}e^{m x}.
Substituindo em x y''-2(x+1)y'+(x+2)y=0 e dividindo por e^{m x}\neq0:
x m^{2} - 2(x+1)m + (x+2)=0.
Agrupando termos em x e constantes:
x\bigl(m^{2}-2m+1\bigr) + \bigl(-2m+2\bigr)=0.
Para que isso valha para todo x (lembre: a identidade em x deve ser verdadeira), os coeficientes devem ser zero. Assim
m^{2}-2m+1=0\quad\text{e}\quad -2m+2=0.
A primeira é (m-1)^{2}=0 e a segunda dá m=1. Portanto m=1 e obtemos uma solução conhecida da homogênea:
y_{1}(x)=e^{x}.

Passo 3

Agora precisamos da segunda solução independente y_{2} da homogênea. Vou usar o método de redução de ordem (muito útil quando já se conhece uma solução y_{1}).
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=g(x) dividindo por x (válido pois x>0):
y'' - \frac{2(x+1)}{x}y' + \frac{x+2}{x}y = x^{2}e^{2x}.
Então
P(x)=-\frac{2(x+1)}{x}.
A fórmula prática de redução de ordem diz que uma segunda solução pode ser buscada como y_{2}=v(x)y_{1}(x) e que uma forma direta para y_{2} (quando se prefere usar fator integrante) é
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{\exp\!\bigl(-\int P(x)\,dx\bigr)}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Calculemos -\int P(x)\,dx:
-\int P(x)\,dx = -\int \left(-\frac{2(x+1)}{x}\right)dx = \int \frac{2(x+1)}{x}\,dx =2\int\left(1+\frac{1}{x}\right)dx=2x+2\ln x.
Portanto
\exp\!\bigl(-\int P\,dx\bigr)=e^{2x}x^{2}.
Agora montar a integral:
y_{2}(x)=e^{x}\int \frac{e^{2x}x^{2}}{(e^{x})^{2}}\,dx = e^{x}\int x^{2}\,dx = e^{x}\cdot\frac{x^{3}}{3} + \text{const}\cdot e^{x}.
A parte constante-multiplicativa dá novamente múltiplos de y_{1}, então uma segunda solução independente pode ser escolhida como
y_{2}(x)=x^{3}e^{x}.

Passo 4

Verificação rápida de independência linear (importante para garantir que y_{1},y_{2} formam base):
Calcule o Wronskiano W(y_{1},y_{2}).
y_{1}=e^{x},\quad y_{1}'=e^{x},
y_{2}=x^{3}e^{x},\quad y_{2}'=(3x^{2}+x^{3})e^{x}.
Assim
W=\begin{vmatrix} e^{x} & x^{3}e^{x} \\\ e^{x} & (3x^{2}+x^{3})e^{x} \end{vmatrix} = e^{2x}\bigl(3x^{2}+x^{3}-x^{3}\bigr)=3x^{2}e^{2x}.
Como x>0, W\neq0, logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e geram o espaço das soluções da homogênea. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{3}e^{x}.

Passo 5

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Vou usar variação de parâmetros (funciona bem com coeficientes variáveis).
Na forma padrão temos g(x)=x^{2}e^{2x} (lembre: dividimos por x antes). As fórmulas de variação de parâmetros para y''+P y'+Q y=g são
u_{1}' = -\frac{g\,y_{2}}{W},\qquad u_{2}'=\frac{g\,y_{1}}{W},
e então
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.
Usando g=x^{2}e^{2x}, y_{1}=e^{x}, y_{2}=x^{3}e^{x} e W=3x^{2}e^{2x}:
u_{1}' = -\frac{x^{2}e^{2x}\cdot x^{3}e^{x}}{3x^{2}e^{2x}} = -\frac{x^{3}e^{x}}{3},
u_{2}' = \frac{x^{2}e^{2x}\cdot e^{x}}{3x^{2}e^{2x}} = \frac{e^{x}}{3}.

Passo 6

Integramos u_{1}' e u_{2}' (os constantes de integração podem ser desprezados aqui pois levariam a termos da homogênea já incluídos em y_{h}).
Primeiro u_{2}:
u_{2}=\int \frac{e^{x}}{3}\,dx=\frac{1}{3}e^{x}.
Agora u_{1}:
u_{1}=-\frac{1}{3}\int x^{3}e^{x}\,dx.
Calcular I=\int x^{3}e^{x}\,dx por partes (redução):
  • Com u=x^{3},\\ dv=e^{x}dx obtemos I=x^{3}e^{x}-3\int x^{2}e^{x}dx.
  • Para J=\int x^{2}e^{x}dx, com u=x^{2},\\ dv=e^{x}dx obtemos J=x^{2}e^{x}-2\int x e^{x}dx.
  • Para K=\int x e^{x}dx, com u=x,\\ dv=e^{x}dx obtemos K= x e^{x}-\int e^{x}dx = x e^{x}-e^{x}.
Combinando:
J = x^{2}e^{x}-2(x e^{x}-e^{x})=e^{x}(x^{2}-2x+2),
I = x^{3}e^{x}-3J = e^{x}\bigl(x^{3}-3x^{2}+6x-6\bigr).
Portanto
u_{1}=-\frac{1}{3}e^{x}\bigl(x^{3}-3x^{2}+6x-6\bigr).

Passo 7

Agora formamos y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.
Calcule cada termo:
u_{1}y_{1} = -\frac{1}{3}e^{x}\bigl(x^{3}-3x^{2}+6x-6\bigr)\cdot e^{x} = -\frac{1}{3}e^{2x}\bigl(x^{3}-3x^{2}+6x-6\bigr),
u_{2}y_{2} = \frac{1}{3}e^{x}\cdot x^{3}e^{x} = \frac{1}{3}x^{3}e^{2x}.
Somando:
y_{p}=e^{2x}\left[-\frac{1}{3}\bigl(x^{3}-3x^{2}+6x-6\bigr)+\frac{1}{3}x^{3}\right].
Os termos em x^{3} se cancelam; ficando
y_{p}=e^{2x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr).

Passo 8

Finalmente a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{3}e^{x}+e^{2x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{3}e^{x}+e^{2x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)

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