Informação extra dada: a equação homogênea associada possui uma solução da forma y=e^{m x} (ou seja, existe uma solução exponencial com m constante).
Passo 2
Vamos usar a dica: testar y=e^{m x} na equação homogênea (isto é, com o lado direito igual a zero) para descobrir m e obter pelo menos uma solução conhecida.
Substituindo y=e^{m x} na homogênea e calculando derivadas:
y' = m e^{m x},\qquad y''=m^{2}e^{m x}.
Substituindo em x y''-2(x+1)y'+(x+2)y=0 e dividindo por e^{m x}\neq0:
x m^{2} - 2(x+1)m + (x+2)=0.
Agrupando termos em x e constantes:
x\bigl(m^{2}-2m+1\bigr) + \bigl(-2m+2\bigr)=0.
Para que isso valha para todo x (lembre: a identidade em x deve ser verdadeira), os coeficientes devem ser zero. Assim
m^{2}-2m+1=0\quad\text{e}\quad -2m+2=0.
A primeira é (m-1)^{2}=0 e a segunda dá m=1. Portanto m=1 e obtemos uma solução conhecida da homogênea:
y_{1}(x)=e^{x}.
Passo 3
Agora precisamos da segunda solução independente y_{2} da homogênea. Vou usar o método de redução de ordem (muito útil quando já se conhece uma solução y_{1}).
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=g(x) dividindo por x (válido pois x>0):
A fórmula prática de redução de ordem diz que uma segunda solução pode ser buscada como y_{2}=v(x)y_{1}(x) e que uma forma direta para y_{2} (quando se prefere usar fator integrante) é