Faça o que se pede
O menor número natural positivo que devemos multiplicar a 53920 para que ele se torne um quadrado perfeito?

Passo 1

O enunciado pede o menor número natural que devemos multiplicar por 53920 para que o produto seja um quadrado perfeito. O conteúdo da matéria é quadrados perfeitos e fatoração em números primos, e vamos precisar fatorar 53920 e ajustar seus expoentes para que todos fiquem pares.

Passo 2

Primeiro, fatoramos 53920 em primos. Notamos que 53920 ÷ 16 = 3370, logo
53920 = 2^4 cdot 3370
Em seguida, 3370 = 2 · 1685, resultando em
53920 = 2^5 cdot 1685
E 1685 = 5 · 337, então finalmente
53920 = 2^5 cdot 5 cdot 337

Passo 3

Para um número ser quadrado perfeito, na fatoração prima todos os expoentes devem ser pares. Aqui, os expoentes são ímpares: 5 para o primo 2, 1 para o primo 5 e 1 para o primo 337. Então precisamos multiplicar pelos fatores que elevem cada expoente a um valor par.

Passo 4

Precisamos de um fator 2 para elevar o expoente de 2 de 5 para 6, um fator 5 para elevar o expoente de 5 de 1 para 2, e um fator 337 para elevar o expoente de 337 de 1 para 2. Assim, o menor número procurado é
2 cdot 5 cdot 337 = 3370

Passo 5

Para verificar, note que
53920 cdot 3370 = 2^6 cdot 5^2 cdot 337^2 = (2^3 cdot 5 cdot 337)^2
que é um quadrado perfeito.

Resposta

3370

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