Faça o que se pede:
Seja g: R R uma função com derivada contínua e h uma função dada por h(x, y)=e^2 x g(x-3 y). Mostre que 3 hx+hy-6 h=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função $ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é diferenciável e uma função $ h(x, y) = e^{2x} g(x - 3y) $. O que a gente precisa fazer é mostrar que a combinação linear das derivadas parciais de $ h $ satisfaz a equação $ 3 h_{x} + h_{y} - 6 h = 0 $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, que chamamos de $ h_x $. A função $ h $ é um produto de duas funções: $ e^{2x} $ e $ g(x - 3y) $. Para derivar isso, usamos a regra do produto:
h

Passo 3

Agora, vamos derivar cada parte. Começando com $ \frac{\partial}{\partial x} e^{2x} $:
partialpartial x e^2x
E para $ \frac{\partial}{\partial x} g(x - 3y) $, usamos a regra da cadeia. Se $ u = x - 3y $, então:
partialpartial x e^2x = 2 e^2x

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de $ h_x $:
hx

Passo 5

Agora vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, $ h_y $. Assim como antes, usamos a regra do produto:
h

Passo 6

Derivando cada termo:
partialpartial y e^2x = 0
E para $ \frac{\partial}{\partial y} g(x - 3y) $, novamente usamos a regra da cadeia:
partialpartial y g(x - 3y)

Passo 7

Substituindo na expressão de $ h_y $:
hy

Passo 8

Agora que temos $ h_x $ e $ h_y $, vamos montar a combinação dada na questão:
hx

Passo 9

Distribuindo e simplificando os termos:
= 3 e^2x g'(x - 3y) + 6 e^2x g(x - 3y) - 3 e^2x g'(x - 3y) - 6 e^2x g(x - 3y)

Passo 10

Observamos que os termos $ 3 e^{2x} g’(x - 3y) $ e $ -3 e^{2x} g’(x - 3y) $ se cancelam, assim como $ 6 e^{2x} g(x - 3y) $ e $ -6 e^{2x} g(x - 3y) $:
3 e^2x g'(x - 3y)

Resposta

Portanto, mostramos que $ 3 h_{x} + h_{y} - 6 h = 0 $.

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