Faça o que se pede:
Seja
uma função com derivada contínua e
uma função dada por
. Mostre que
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função $ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que é diferenciável e uma função $ h(x, y) = e^{2x} g(x - 3y) $. O que a gente precisa fazer é mostrar que a combinação linear das derivadas parciais de $ h $ satisfaz a equação $ 3 h_{x} + h_{y} - 6 h = 0 $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, que chamamos de $ h_x $. A função $ h $ é um produto de duas funções: $ e^{2x} $ e $ g(x - 3y) $. Para derivar isso, usamos a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada parte. Começando com $ \frac{\partial}{\partial x} e^{2x} $:
E para $ \frac{\partial}{\partial x} g(x - 3y) $, usamos a regra da cadeia. Se $ u = x - 3y $, então:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de $ h_x $:
Passo 5
Agora vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, $ h_y $. Assim como antes, usamos a regra do produto:
Passo 6
Derivando cada termo:
E para $ \frac{\partial}{\partial y} g(x - 3y) $, novamente usamos a regra da cadeia:
Passo 7
Substituindo na expressão de $ h_y $:
Passo 8
Agora que temos $ h_x $ e $ h_y $, vamos montar a combinação dada na questão:
Passo 9
Distribuindo e simplificando os termos:
Passo 10
Observamos que os termos $ 3 e^{2x} g’(x - 3y) $ e $ -3 e^{2x} g’(x - 3y) $ se cancelam, assim como $ 6 e^{2x} g(x - 3y) $ e $ -6 e^{2x} g(x - 3y) $:
Resposta
Portanto, mostramos que $ 3 h_{x} + h_{y} - 6 h = 0 $.