Faça o que se pede:
O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada entre a curva y= \sqrt[3]{x}, o eixo OX e as retas x=-1 e x=8

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por:
  • a curva y=\sqrt[3]{x};
  • o eixo Ox (ou seja, y=0);
  • as retas verticais x=-1 e x=8.
Informações relevantes dadas (tiradas do enunciado e verificáveis pela função):
  • Para x=-1 tem-se y=\sqrt[3]{-1}=-1.
  • Para x=0 tem-se y=\sqrt[3]{0}=0.
  • Para x=8 tem-se y=\sqrt[3]{8}=2.
  • O eixo de rotação é o próprio eixo Ox (rotação em torno de y=0).
  • A região é, para cada x\in[-1,8], o segmento vertical entre y=\sqrt[3]{x} e y=0 (quando x<0 a curva está abaixo do eixo, quando x>0 está acima, mas em ambos os casos o segmento é entre a curva e o eixo).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (sem ainda calcular):
  • Como o eixo de rotação é o eixo Ox e queremos o volume obtido por rodar segmentos verticais, o método mais direto é o método dos discos (fatias perpendiculares ao eixo de rotação).
  • Regra dos discos (quando a região vai do eixo até uma curva y=f(x)): a área do disco transversal em posição x é A(x)=\pi\big(R(x)\big)^2, onde R(x) é a distância do eixo de rotação até a curva (ou seja a função y em valor absoluto). O volume é a integral dessa área:
V=\int_{a}^{b}\pi\big(R(x)\big)^2\,dx.
  • Aqui R(x)=\big|y(x)\big|=\big|\sqrt[3]{x}\big|=\big|x\big|^{1/3}. Como vamos elevar ao quadrado, \big(R(x)\big)^2=\big(\sqrt[3]{x}\big)^2=x^{2/3} (isto é válido para x negativo também porque (\sqrt[3]{x})^2 é sempre não-negativo).

Passo 3

Escrevendo a integral do volume conforme o método dos discos:
V=\int_{-1}^{8}\pi\big(\sqrt[3]{x}\big)^2\,dx =\pi\int_{-1}^{8}x^{2/3}\,dx.
Explicando a expressão: para cada x tomamos o segmento entre y=0 e y=\sqrt[3]{x}; ao girar esse segmento em torno do eixo Ox obtemos um disco de raio |\sqrt[3]{x}|, cuja área é \pi(\sqrt[3]{x})^2. Somando (integrando) essas áreas ao longo de x\in[-1,8] obtemos o volume.

Passo 4

Calcular a integral indefinida usando a fórmula básica de potências:
  • Fórmula: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aqui n=\tfrac{2}{3}. Logo
\int x^{2/3}\,dx=\frac{x^{2/3+1}}{2/3+1}=\frac{x^{5/3}}{5/3}=\frac{3}{5}x^{5/3}.
Observação sobre sinais: para x<0 a notação x^{5/3} corresponde a (\sqrt[3]{x})^{5}. Como \sqrt[3]{x} é negativa para x<0 e o expoente 5 é ímpar, x^{5/3} resulta em número negativo — portanto a fórmula acima vale corretamente em todo o intervalo [-1,8].

Passo 5

Avaliar a integral definida:
V=\pi\left[\frac{3}{5}x^{5/3}\right]_{x=-1}^{x=8} =\pi\cdot\frac{3}{5}\big(8^{5/3}-(-1)^{5/3}\big).
Calcular as potências:
  • 8^{5/3}=(8^{1/3})^{5}=2^{5}=32.
  • (-1)^{5/3}=(\sqrt[3]{-1})^{5}=(-1)^{5}=-1.
Portanto
V=\pi\cdot\frac{3}{5}(32-(-1))=\pi\cdot\frac{3}{5}\cdot 33=\pi\cdot\frac{99}{5}.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para prova:
  • O volume é \dfrac{99\pi}{5}.
  • Dica: sempre identifique se o segmento que se gira vai do eixo até a curva (discos) ou se a fatia natural é paralela ao eixo (caso em que às vezes o método das cascas cilíndricas é melhor). Aqui fatias verticais e rotação em torno de Ox tornam o método dos discos o mais simples.

Resposta

\dfrac{99\pi}{5}

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