Faça o que se pede:
O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada entre a curva y= \sqrt[3]{x}, o eixo OX e as retas x=-1 e x=8
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por:
a curva y=\sqrt[3]{x};
o eixo Ox (ou seja, y=0);
as retas verticais x=-1 e x=8.
Informações relevantes dadas (tiradas do enunciado e verificáveis pela função):
Para x=-1 tem-se y=\sqrt[3]{-1}=-1.
Para x=0 tem-se y=\sqrt[3]{0}=0.
Para x=8 tem-se y=\sqrt[3]{8}=2.
O eixo de rotação é o próprio eixo Ox (rotação em torno de y=0).
A região é, para cada x\in[-1,8], o segmento vertical entre y=\sqrt[3]{x} e y=0 (quando x<0 a curva está abaixo do eixo, quando x>0 está acima, mas em ambos os casos o segmento é entre a curva e o eixo).
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem ainda calcular):
Como o eixo de rotação é o eixo Ox e queremos o volume obtido por rodar segmentos verticais, o método mais direto é o método dos discos (fatias perpendiculares ao eixo de rotação).
Regra dos discos (quando a região vai do eixo até uma curva y=f(x)): a área do disco transversal em posição x é A(x)=\pi\big(R(x)\big)^2, onde R(x) é a distância do eixo de rotação até a curva (ou seja a função y em valor absoluto). O volume é a integral dessa área:
V=\int_{a}^{b}\pi\big(R(x)\big)^2\,dx.
Aqui R(x)=\big|y(x)\big|=\big|\sqrt[3]{x}\big|=\big|x\big|^{1/3}. Como vamos elevar ao quadrado, \big(R(x)\big)^2=\big(\sqrt[3]{x}\big)^2=x^{2/3} (isto é válido para x negativo também porque (\sqrt[3]{x})^2 é sempre não-negativo).
Passo 3
Escrevendo a integral do volume conforme o método dos discos:
Explicando a expressão: para cada x tomamos o segmento entre y=0 e y=\sqrt[3]{x}; ao girar esse segmento em torno do eixo Ox obtemos um disco de raio |\sqrt[3]{x}|, cuja área é \pi(\sqrt[3]{x})^2. Somando (integrando) essas áreas ao longo de x\in[-1,8] obtemos o volume.
Passo 4
Calcular a integral indefinida usando a fórmula básica de potências:
Observação sobre sinais: para x<0 a notação x^{5/3} corresponde a (\sqrt[3]{x})^{5}. Como \sqrt[3]{x} é negativa para x<0 e o expoente 5 é ímpar, x^{5/3} resulta em número negativo — portanto a fórmula acima vale corretamente em todo o intervalo [-1,8].
Dica: sempre identifique se o segmento que se gira vai do eixo até a curva (discos) ou se a fatia natural é paralela ao eixo (caso em que às vezes o método das cascas cilíndricas é melhor). Aqui fatias verticais e rotação em torno de Ox tornam o método dos discos o mais simples.