O integrando é a razão entre o polinômio 3x^{2}+2x+1 e o produto (x+1)(x^{2}+1).
A tarefa é encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, escrevendo a resposta com a constante de integração C.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): como o denominador (x+1)(x^{2}+1) é um produto de um fator linear (x+1) e um quadrático irreducível (x^{2}+1), uma técnica clássica é decompor a fração em frações parciais. A ideia é escrever
onde A, B e C são constantes a determinar. Essa forma é padrão: para cada fator linear usamos uma constante no numerador; para cada fator quadrático irreducível usamos um numerador linear.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1) para eliminar denominadores, obtemos a identidade polinomial
3x^{2}+2x+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+1).
Vamos expandir o lado direito passo a passo:
A(x^{2}+1)=A x^{2}+A,
(Bx+C)(x+1)=B x^{2}+(B+C)x + C.
Somando,
A x^{2}+A + B x^{2}+(B+C)x + C = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Como isso deve ser igual para todo x, comparamos coeficientes termo a termo: