Calcule as integrais:
\int \frac{3 x^{2}+2 x+1}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{3 x^{2}+2 x+1}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a razão entre o polinômio 3x^{2}+2x+1 e o produto (x+1)(x^{2}+1).
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, escrevendo a resposta com a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): como o denominador (x+1)(x^{2}+1) é um produto de um fator linear (x+1) e um quadrático irreducível (x^{2}+1), uma técnica clássica é decompor a fração em frações parciais. A ideia é escrever
\frac{3 x^{2}+2 x+1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{x^{2}+1},
onde A, B e C são constantes a determinar. Essa forma é padrão: para cada fator linear usamos uma constante no numerador; para cada fator quadrático irreducível usamos um numerador linear.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1) para eliminar denominadores, obtemos a identidade polinomial
3x^{2}+2x+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+1).
Vamos expandir o lado direito passo a passo:
A(x^{2}+1)=A x^{2}+A,
(Bx+C)(x+1)=B x^{2}+(B+C)x + C.
Somando,
A x^{2}+A + B x^{2}+(B+C)x + C = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Como isso deve ser igual para todo x, comparamos coeficientes termo a termo:
\begin{cases} A+B = 3,\\[4pt] B+C = 2,\\[4pt] A+C = 1. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema linear para A,B,C. Da primeira equação B=3-A. Da terceira equação C=1-A. Substituindo na segunda:
B+C = (3-A)+(1-A)=4-2A = 2.
Logo 4-2A=2\Rightarrow 2A=2\Rightarrow A=1.
Com A=1 obtemos B=3-A=2 e C=1-A=0.
Portanto a decomposição ficou
\frac{3 x^{2}+2 x+1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Agora voltamos à integral e usamos a decomposição para separar em integrais mais simples:
\int \frac{3 x^{2}+2 x+1}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}\,dx = \int \frac{1}{x+1}\,dx + \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.
Cada integral será tratada com uma técnica simples.

Passo 6

Integral do primeiro termo: lembrar a regra básica
\int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln|x+a| + C,
porque a derivada de \ln|x+a| é 1/(x+a). Assim
\int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1|.

Passo 7

Integral do segundo termo: usar substituição. Seja u=x^{2}+1. Então du = 2x\,dx. Portanto
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln(x^{2}+1) + C,
notando que x^{2}+1>0 para todo x, então |x^{2}+1|=x^{2}+1.

Passo 8

Somando as duas primitivas e juntando a constante de integração em uma só, obtemos a antiderivada geral
\ln|x+1| + \ln(x^{2}+1) + C.
Opcionalmente podemos combinar os logaritmos:
\ln\!\big(|x+1|\,(x^{2}+1)\big) + C.

Resposta

\ln|x+1|+\ln(x^{2}+1)+C

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