Calcule as integrais:
\int \frac{4 x-2}{(x+1)\left(x^{2}+4\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{4x-2}{(x+1)\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
Informações fornecidas:
  • A função a integrar é uma função racional, quociente de polinômios \dfrac{4x-2}{(x+1)(x^2+4)}.
  • Não há outras restrições; espera-se uma primitiva (antiderivada) geral, com constante de integração.

Passo 2

Escolha do método: decomposição em frações parciais.
Por que isso? Porque o integrando é uma fração racional cujo denominador fatorou-se em fatores polinomiais simples (x+1) e um quadrado irreduzível x^2+4. Para integrar racionalmente decompomos em termos mais simples cuja antiderivada é conhecida (logaritmos e arctan).
Regra prática: para cada fator linear (x-a) usamos uma parcela do tipo \dfrac{A}{x-a}. Para cada fator quadrático irreduzível (x^2+ b) usamos uma parcela do tipo \dfrac{Bx+C}{x^2+b} (numerador de grau menor que o do denominador). Então propomos:
\frac{4x-2}{(x+1)(x^2+4)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}.

Passo 3

Encontrar A, B e C por identidade algébrica.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^2+4) obtemos
4x-2 = A(x^2+4) + (Bx+C)(x+1).
Expandindo o lado direito:
A x^2 + 4A + (Bx+C)(x+1) = A x^2 + 4A + Bx^2 + Bx + Cx + C.
Agrupando termos por potências de x:
4x-2 = (A+B)x^2 + (B+C)x + (4A+C).
Comparando coeficientes com o polinômio 0x^2 + 4x -2, obtemos o sistema linear
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] B + C = 4,\\[4pt] 4A + C = -2. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação A+B=0 segue
B = -A.
Substituindo em B+C=4:
-A + C = 4 \quad\Rightarrow\quad C = 4 + A.
Substituindo C em 4A+C=-2:
4A + (4 + A) = -2 \quad\Rightarrow\quad 5A + 4 = -2 \quad\Rightarrow\quad 5A = -6.
Logo
A = -\frac{6}{5}.
Então
B = -A = \frac{6}{5}, \qquad C = 4 + A = 4 - \frac{6}{5} = \frac{14}{5}.

Passo 5

Escrever a decomposição encontrada.
Substituindo A, B, C na decomposição:
\frac{4x-2}{(x+1)(x^2+4)} = -\frac{6}{5}\cdot\frac{1}{x+1} + \frac{\tfrac{6}{5}x + \tfrac{14}{5}}{x^2+4}.
É conveniente separar os termos do numerador do segundo quociente:
\frac{4x-2}{(x+1)(x^2+4)} = -\frac{6}{5}\cdot\frac{1}{x+1} + \frac{6}{5}\cdot\frac{x}{x^2+4} + \frac{14}{5}\cdot\frac{1}{x^2+4}.

Passo 6

Integrar termo a termo. Primeiro, recordando fórmulas úteis:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1| + C.
  • Substituição simples: para \displaystyle \int \frac{x}{x^2+4}\,dx, use u=x^2+4 então du=2x\,dx, daí \displaystyle \int \frac{x}{x^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+4) + C.
  • Fórmula da arctan: \displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C. Aqui a=2, então \displaystyle \int \frac{1}{x^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
Agora aplicamos essas fórmulas a cada parcela:
  1. \displaystyle \int -\frac{6}{5}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx = -\frac{6}{5}\ln|x+1|.
  2. \displaystyle \int \frac{6}{5}\cdot\frac{x}{x^2+4}\,dx = \frac{6}{5}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^2+4) = \frac{3}{5}\ln(x^2+4).
  3. \displaystyle \int \frac{14}{5}\cdot\frac{1}{x^2+4}\,dx = \frac{14}{5}\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{7}{5}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 7

Juntar todas as parcelas e acrescentar a constante de integração:
\int \frac{4x-2}{(x+1)\left(x^{2}+4\right)}\,dx = -\frac{6}{5}\ln|x+1| + \frac{3}{5}\ln\!\left(x^{2}+4\right) + \frac{7}{5}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
Opcionalmente, pode-se combinar os logaritmos:
-\frac{6}{5}\ln|x+1| + \frac{3}{5}\ln\!\left(x^{2}+4\right) = \frac{3}{5}\ln\!\left(\frac{x^{2}+4}{(x+1)^2}\right),
mas a forma separada fica clara e prática para prova.

Resposta

-\dfrac{6}{5}\ln|x+1|+\dfrac{3}{5}\ln\!\left(x^{2}+4\right)+\dfrac{7}{5}\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C

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