Calcule as integrais: \int \frac{4 x-2}{(x+1)\left(x^{2}+4\right)} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{4x-2}{(x+1)\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
Informações fornecidas:
A função a integrar é uma função racional, quociente de polinômios \dfrac{4x-2}{(x+1)(x^2+4)}.
Não há outras restrições; espera-se uma primitiva (antiderivada) geral, com constante de integração.
Passo 2
Escolha do método: decomposição em frações parciais.
Por que isso? Porque o integrando é uma fração racional cujo denominador fatorou-se em fatores polinomiais simples (x+1) e um quadrado irreduzível x^2+4. Para integrar racionalmente decompomos em termos mais simples cuja antiderivada é conhecida (logaritmos e arctan).
Regra prática: para cada fator linear (x-a) usamos uma parcela do tipo \dfrac{A}{x-a}. Para cada fator quadrático irreduzível (x^2+ b) usamos uma parcela do tipo \dfrac{Bx+C}{x^2+b} (numerador de grau menor que o do denominador). Então propomos:
Integrar termo a termo. Primeiro, recordando fórmulas úteis:
\displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1| + C.
Substituição simples: para \displaystyle \int \frac{x}{x^2+4}\,dx, use u=x^2+4 então du=2x\,dx, daí \displaystyle \int \frac{x}{x^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+4) + C.
Fórmula da arctan: \displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C. Aqui a=2, então \displaystyle \int \frac{1}{x^2+4}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.