Faça o que é pedido em cada item:
Encontre as equações das retas perpendiculares à reta r: 3 x+2 y+4=0, às quais estão à distância de \sqrt{13} do ponto P=(5,4).

Passo 1

O enunciado dá a reta r e um ponto P e pede retas perpendiculares a r que estejam a uma certa distância de P. Informações fornecidas:
  • A reta r é \;3x+2y+4=0.
  • O ponto é \;P=(5,4).
  • Precisamos encontrar todas as retas que sejam perpendiculares a r e cuja distância até P seja \sqrt{13}.

Passo 2

Vamos transformar a reta r para a forma que revela sua inclinação (coeficiente angular). A forma reduzida (forma y=mx+b) é obtida isolando y:
3x+2y+4=0 \implies 2y = -3x-4 \implies y = -\tfrac{3}{2}x -2.
Aqui o coeficiente angular da reta r é \;m_r = -\tfrac{3}{2}.
Explicação rápida sobre coeficiente angular: em y=mx+b, o número m é a inclinação da reta, isto é, quanto y varia quando x aumenta em 1.

Passo 3

Reta perpendicular tem coeficiente angular igual ao negativo do recíproco do da reta original. Se m_r é a inclinação da reta dada, então a inclinação m_\perp de uma reta perpendicular satisfaz
m_\perp = -\frac{1}{m_r}.
Aplicando aqui:
m_\perp = -\frac{1}{-\tfrac{3}{2}} = \tfrac{2}{3}.
Portanto todas as retas que queremos têm inclinação \tfrac{2}{3}. Podemos escrever a família dessas retas em forma geral. Usando a forma geral ax+by+c=0 e sabendo a inclinação \tfrac{2}{3}, uma forma conveniente é
2x-3y+D=0,
onde D é uma constante real que desloca a reta paralelamente (cada valor de D dá uma reta com a mesma inclinação).

Passo 4

Agora precisamos impor a condição da distância entre a reta e o ponto P=(5,4). A fórmula da distância do ponto (x_0,y_0) até a reta ax+by+c=0 é
\text{dist}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Explicação da fórmula (intuição): ax+by+c=0 define uma normal (vetor (a,b)) à reta; a expressão ax_0+by_0+c dá a projeção signada do vetor que liga um ponto da reta ao (x_0,y_0) nessa direção normal; dividir pelo comprimento de (a,b) normaliza essa projeção, e o valor absoluto dá a distância.

Passo 5

Aplicamos a fórmula com a=2, b=-3, c=D e P=(5,4). Primeiro calculemos o denominador:
\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
O numerador é |a x_0 + b y_0 + c| = |2\cdot 5 + (-3)\cdot 4 + D| = |10 -12 + D| = |D-2|.
Portanto a distância é
\frac{|D-2|}{\sqrt{13}}.
Queremos essa distância igual a \sqrt{13}. Assim:
\frac{|D-2|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}.

Passo 6

Resolvendo a equação da distância:
|D-2| = \sqrt{13}\cdot\sqrt{13} = 13.
Logo
D-2 = \pm 13.
Portanto as duas possibilidades são
D = 2+13 = 15 \quad\text{ou}\quad D = 2-13 = -11.
Esses dois valores de D geram duas retas da família 2x-3y+D=0. (A conta até aqui foi obter os deslocamentos que colocam a reta a \sqrt{13} de P.)

Passo 7

Podemos escrever cada reta explicitamente em forma reduzida y=mx+b se quisermos ver o coeficiente linear:
  • Para D=15: 2x-3y+15=0 \implies 3y=2x+15 \implies y=\tfrac{2}{3}x+5.
  • Para D=-11: 2x-3y-11=0 \implies 3y=2x-11 \implies y=\tfrac{2}{3}x-\tfrac{11}{3}.
Checagem rápida (intuitiva): ambas têm inclinação \tfrac{2}{3} e foram deslocadas de modo que a distância até P é \sqrt{13} (já garantido pela equação que resolvemos).

Resposta

2x-3y+15=0
2x-3y-11=0

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