Faça o que é pedido em cada item:
Encontre as equações das retas perpendiculares à reta
, às quais estão à distância de
do ponto
.
Encontre as equações das retas perpendiculares à reta
Passo 1
O enunciado dá a reta
e um ponto
e pede retas perpendiculares a
que estejam a uma certa distância de
. Informações fornecidas:
- A reta
é . - O ponto é
. - Precisamos encontrar todas as retas que sejam perpendiculares a
e cuja distância até seja .
Passo 2
Vamos transformar a reta
para a forma que revela sua inclinação (coeficiente angular). A forma reduzida (forma
) é obtida isolando
:
Aqui o coeficiente angular da reta
é
.
Explicação rápida sobre coeficiente angular: em , o número
é a inclinação da reta, isto é, quanto
varia quando
aumenta em
.
Explicação rápida sobre coeficiente angular: em
Passo 3
Reta perpendicular tem coeficiente angular igual ao negativo do recíproco do da reta original. Se
é a inclinação da reta dada, então a inclinação
de uma reta perpendicular satisfaz
Aplicando aqui:
Portanto todas as retas que queremos têm inclinação
. Podemos escrever a família dessas retas em forma geral. Usando a forma geral
e sabendo a inclinação
, uma forma conveniente é
onde
é uma constante real que desloca a reta paralelamente (cada valor de
dá uma reta com a mesma inclinação).
Passo 4
Agora precisamos impor a condição da distância entre a reta e o ponto
. A fórmula da distância do ponto
até a reta
é
Explicação da fórmula (intuição):
define uma normal (vetor
) à reta; a expressão
dá a projeção signada do vetor que liga um ponto da reta ao
nessa direção normal; dividir pelo comprimento de
normaliza essa projeção, e o valor absoluto dá a distância.
Passo 5
Aplicamos a fórmula com
,
,
e
. Primeiro calculemos o denominador:
O numerador é
.
Portanto a distância é
Portanto a distância é
Queremos essa distância igual a
. Assim:
Passo 6
Resolvendo a equação da distância:
Logo
Portanto as duas possibilidades são
Esses dois valores de
geram duas retas da família
. (A conta até aqui foi obter os deslocamentos que colocam a reta a
de
.)
Passo 7
Podemos escrever cada reta explicitamente em forma reduzida
se quisermos ver o coeficiente linear:
- Para
: - Para
:
Checagem rápida (intuitiva): ambas têm inclinação
e foram deslocadas de modo que a distância até
é
(já garantido pela equação que resolvemos).