Faça o que é pedido em cada item:
Ache o menor ângulo formado entre as retas
e
Ache o menor ângulo formado entre as retas
Passo 1
O enunciado pede: achar o menor ângulo formado entre as retas
e
.
Informações dadas:
e
Passo 2
Vamos extrair um vetor diretor da reta
. Numa forma paramétrica da reta da forma
o vetor diretor é
, porque ele indica a variação de
e
quando o parâmetro
varia.
No caso de temos coeficientes de
iguais a
e
. Portanto um vetor diretor de
é
No caso de
Passo 3
Agora obtemos um vetor diretor de
. A equação geral de uma reta em
é
onde o vetor normal é
. Um vetor diretor da reta é qualquer vetor perpendicular ao normal; uma fórmula prática é
Na reta
temos
e
. Logo o vetor normal é
e um vetor diretor é
Podemos simplificar esse vetor dividindo por
(escalamento não muda direção):
Passo 4
Lembrete importante sobre ângulos entre retas: o menor ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre quaisquer vetores diretores delas (sempre entre
e
). Para calcular o ângulo entre dois vetores
e
usamos o produto escalar:
onde
é a norma (comprimento) do vetor e
é o ângulo entre eles. Para obter o menor ângulo usamos o valor absoluto do produto escalar se necessário, ou simplesmente calculamos
e tomamos
no intervalo
.
Passo 5
Para facilitar as contas, podemos multiplicar o vetor diretor
por
(escala não altera ângulo) e obter
Mantemos
do passo anterior. Calculamos o produto escalar:
Passo 6
Calculamos agora as normas (comprimentos) dos vetores:
Passo 7
Aplicando a fórmula do produto escalar para
:
Logo
Passo 8
Sabemos que
(ou
radianos). Esse é o menor ângulo formado entre as retas, pois deu um valor entre
e
.