Faça o que é pedido em cada item:
Ache o menor ângulo formado entre as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=-2-4 t \\\ y=7-2 t, t \in \mathbb{R}\end{array} \quad\right. e s: 3 \sqrt{2} x-\sqrt{2} y-1=0

Passo 1

O enunciado pede: achar o menor ângulo formado entre as retas r e s.
Informações dadas:
r:\begin{cases} x=-2-4t\\[4pt] y=7-2t,\quad t\in\mathbb{R} \end{cases}
e
s:3\sqrt{2}\,x-\sqrt{2}\,y-1=0.]

Passo 2

Vamos extrair um vetor diretor da reta r. Numa forma paramétrica da reta da forma
x=x_0+at,\qquad y=y_0+bt,
o vetor diretor é (a,b), porque ele indica a variação de x e y quando o parâmetro t varia.
No caso de r temos coeficientes de t iguais a -4 e -2. Portanto um vetor diretor de r é
\vec{v}_r = (-4,-2).

Passo 3

Agora obtemos um vetor diretor de s. A equação geral de uma reta em \mathbb{R}^2 é
ax+by+c=0,
onde o vetor normal é (a,b). Um vetor diretor da reta é qualquer vetor perpendicular ao normal; uma fórmula prática é
\vec{v}_s = (-b,a).
Na reta s temos a=3\sqrt{2} e b=-\sqrt{2}. Logo o vetor normal é (3\sqrt{2},-\,\sqrt{2}) e um vetor diretor é
\vec{v}_s = \big(-(-\sqrt{2}),\,3\sqrt{2}\big) = (\sqrt{2},\,3\sqrt{2}).
Podemos simplificar esse vetor dividindo por \sqrt{2} (escalamento não muda direção):
\vec{v}_s = (1,3).

Passo 4

Lembrete importante sobre ângulos entre retas: o menor ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre quaisquer vetores diretores delas (sempre entre 0 e 90^\circ). Para calcular o ângulo entre dois vetores \vec{u} e \vec{v} usamos o produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta,
onde \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor e \theta é o ângulo entre eles. Para obter o menor ângulo usamos o valor absoluto do produto escalar se necessário, ou simplesmente calculamos \cos\theta e tomamos \theta=\operatorname{arccos}(\cdot) no intervalo [0,\pi/2].

Passo 5

Para facilitar as contas, podemos multiplicar o vetor diretor \vec{v}_r=(-4,-2) por -\tfrac12 (escala não altera ângulo) e obter
\vec{u}_r=(2,1).
Mantemos \vec{v}_s=(1,3) do passo anterior. Calculamos o produto escalar:
\vec{u}_r\cdot\vec{v}_s = 2\cdot 1 + 1\cdot 3 = 2+3=5.

Passo 6

Calculamos agora as normas (comprimentos) dos vetores:
\|\vec{u}_r\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5},
\|\vec{v}_s\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.

Passo 7

Aplicando a fórmula do produto escalar para \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{u}_r\cdot\vec{v}_s}{\|\vec{u}_r\|\,\|\vec{v}_s\|}=\frac{5}{\sqrt{5}\,\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo
\theta=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big).

Passo 8

Sabemos que \operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big)=45^\circ (ou \tfrac{\pi}{4} radianos). Esse é o menor ângulo formado entre as retas, pois deu um valor entre 0 e 90^\circ.

Resposta

45^\circ (ou \tfrac{\pi}{4} radianos)

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