Faça o que é pedido em cada item:
(a) (20 pontos) Determine uma equação da elipse com excentricidade e=\frac{1}{2} e cujos focos coincidem com os vértices da hipérbole \mathcal{H}: 4 x^{2}-9 y^{2}+8 x+54 y-41=0
(b) ( 10 pontos) Encontre os focos da hipérbole \mathcal{H} do item anterior.
Nota: \square

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar uma equação da elipse cuja excentricidade é \displaystyle e=\frac{1}{2} e cujos focos coincidem com os vértices da hipérbole \mathcal{H} dada por
4x^{2}-9y^{2}+8x+54y-41=0.
  1. (b) Encontrar os focos da hipérbole \mathcal{H}.
Informações fornecidas: a equação explícita da curva \mathcal{H} acima. Não há outras informações externas.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a equação da hipérbole numa forma padrão, completando quadrados. Agrupando termos em x e y:
4x^{2}+8x \;-\;9y^{2}+54y \;-\;41=0.
Fatorando os coeficientes quadráticos:
4\bigl(x^{2}+2x\bigr)\;-\;9\bigl(y^{2}-6y\bigr)\;-\;41=0.
Agora completamos quadrado em cada parêntese. Lembremos: completar quadrado para x^{2}+2x soma e subtrai 1 porque (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1. Para y^{2}-6y soma e subtrai 9 porque (y-3)^{2}=y^{2}-6y+9. Então:
4\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)\;-\;9\bigl((y-3)^{2}-9\bigr)\;-\;41=0.
Expandindo as constantes:
4(x+1)^{2}-4 \;-\;9(y-3)^{2}+81 \;-\;41=0.
Somando as constantes -4+81-41=36, obtemos
4(x+1)^{2}-9(y-3)^{2}+36=0.
Isolando os quadrados:
4(x+1)^{2}-9(y-3)^{2}=-36.
Dividindo por -36 para obter o lado direito igual a 1,
-\frac{4}{36}(x+1)^{2}+\frac{9}{36}(y-3)^{2}=1.
Simplificando as frações \frac{4}{36}=\frac{1}{9} e \frac{9}{36}=\frac{1}{4}, chegamos à forma padrão:
\boxed{\displaystyle \frac{(y-3)^{2}}{4}-\frac{(x+1)^{2}}{9}=1.}

Passo 3

Interpretação da forma padrão e identificação dos parâmetros:
  • A forma é \displaystyle \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1, ou seja, hipérbole com eixo transverso vertical.
  • Comparando, o centro é \displaystyle (h,k)=(-1,\,3).
  • Temos \displaystyle a^{2}=4, logo \displaystyle a=2.
  • Temos \displaystyle b^{2}=9, logo \displaystyle b=3.
Para hipérboles vale a relação
\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2},
onde c é a distância do centro até cada foco. Aplicando:
\displaystyle c^{2}=4+9=13\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{13}.

Passo 4

Agora determinamos vértices e focos da hipérbole \mathcal{H}:
  • Como o eixo transverso é vertical, os vértices ficam a \pm a em y a partir do centro. Assim os vértices são
\displaystyle V_{1}=(-1,\,3+a)=(-1,\,3+2)=(-1,\,5), \qquad V_{2}=(-1,\,3-a)=(-1,\,3-2)=(-1,\,1).
  • Os focos ficam a \pm c em y a partir do centro. Assim os focos da hipérbole são
\displaystyle F_{1}=(-1,\,3+\sqrt{13}),\qquad F_{2}=(-1,\,3-\sqrt{13}).

Passo 5

Agora vamos ao item (a). O enunciado pede uma elipse cuja excentricidade \displaystyle e=\frac{1}{2} e cujos focos coincidam com os vértices da hipérbole. Já encontramos os vértices da hipérbole em V_{1}=(-1,5) e V_{2}=(-1,1). Portanto os focos da elipse serão
\displaystyle F'_{1}=(-1,5),\qquad F'_{2}=(-1,1).

Passo 6

Definições e relações que vamos usar para a elipse (aqui explico com calma):
  • Para uma elipse com centro (h,k), semi-eixo maior a, semi-eixo menor b e distância focal c (distância do centro a cada foco), a excentricidade é
\displaystyle e=\frac{c}{a}.
  • Para elipse vale ainda
\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}.
  • A equação padrão de uma elipse com eixo maior vertical e centro (h,k) é
\displaystyle \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}+\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1,
pois colocamos a^{2} sob o termo correspondente ao eixo maior.

Passo 7

Aplicando essas fórmulas ao nosso caso:
  • O centro da elipse é o ponto médio entre os focos F'_{1} e F'_{2}. Calculando:
\displaystyle \text{centro}=\bigl(\tfrac{-1-1}{2},\,\tfrac{5+1}{2}\bigr)=(-1,\,3).
(Observação: isto coincide com o centro da hipérbole, porque os focos da elipse foram os vértices da hipérbole simetricamente dispostos.)
  • A distância do centro a um foco da elipse é
\displaystyle c=\text{dist}\bigl((-1,3),\,(-1,5)\bigr)=2.
  • Dado \displaystyle e=\frac{1}{2} e \displaystyle e=\frac{c}{a}, temos
\displaystyle a=\frac{c}{e}=\frac{2}{1/2}=4.
  • Então a^{2}=16. Encontramos b^{2} pela relação c^{2}=a^{2}-b^{2}:
\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}=16-4=12.

Passo 8

Escrevendo a equação final da elipse:
  • Centro (h,k)=(-1,3), eixo maior vertical (porque focos verticalmente alinhados), \;a^{2}=16, \;b^{2}=12.
  • Logo a equação é
\boxed{\displaystyle \frac{(y-3)^{2}}{16}+\frac{(x+1)^{2}}{12}=1.}

Resposta

(a) \displaystyle \frac{(y-3)^{2}}{16}+\frac{(x+1)^{2}}{12}=1
(b) \displaystyle (-1,\,3+\sqrt{13}) e \displaystyle (-1,\,3-\sqrt{13})

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