Faça o que é pedido em cada item:
(a) (20 pontos) Determine uma equação da elipse com excentricidade
e cujos focos coincidem com os vértices da hipérbole
(b) ( 10 pontos) Encontre os focos da hipérbole
do item anterior.
Nota:
(a) (20 pontos) Determine uma equação da elipse com excentricidade
(b) ( 10 pontos) Encontre os focos da hipérbole
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar uma equação da elipse cuja excentricidade é
e cujos focos coincidem com os vértices da hipérbole dada por
- (b) Encontrar os focos da hipérbole
.
Informações fornecidas: a equação explícita da curva
acima. Não há outras informações externas.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a equação da hipérbole numa forma padrão, completando quadrados. Agrupando termos em
e
:
Fatorando os coeficientes quadráticos:
Agora completamos quadrado em cada parêntese. Lembremos: completar quadrado para
soma e subtrai
porque
. Para
soma e subtrai
porque
. Então:
Expandindo as constantes:
Somando as constantes
, obtemos
Isolando os quadrados:
Dividindo por
para obter o lado direito igual a
,
Simplificando as frações
e
, chegamos à forma padrão:
Passo 3
Interpretação da forma padrão e identificação dos parâmetros:
- A forma é
, ou seja, hipérbole com eixo transverso vertical. - Comparando, o centro é
. - Temos
, logo . - Temos
, logo .
Para hipérboles vale a relação
onde
é a distância do centro até cada foco. Aplicando:
Passo 4
Agora determinamos vértices e focos da hipérbole
:
- Como o eixo transverso é vertical, os vértices ficam a
em a partir do centro. Assim os vértices são
- Os focos ficam a
em a partir do centro. Assim os focos da hipérbole são
Passo 5
Agora vamos ao item (a). O enunciado pede uma elipse cuja excentricidade
e cujos focos coincidam com os vértices da hipérbole. Já encontramos os vértices da hipérbole em
e
. Portanto os focos da elipse serão
Passo 6
Definições e relações que vamos usar para a elipse (aqui explico com calma):
- Para uma elipse com centro
, semi-eixo maior , semi-eixo menor e distância focal (distância do centro a cada foco), a excentricidade é
- Para elipse vale ainda
- A equação padrão de uma elipse com eixo maior vertical e centro
é
pois colocamos
sob o termo correspondente ao eixo maior.
Passo 7
Aplicando essas fórmulas ao nosso caso:
- O centro da elipse é o ponto médio entre os focos
e . Calculando:
(Observação: isto coincide com o centro da hipérbole, porque os focos da elipse foram os vértices da hipérbole simetricamente dispostos.)
- A distância do centro a um foco da elipse é
- Dado
e , temos
- Então
. Encontramos pela relação :
Passo 8
Escrevendo a equação final da elipse:
- Centro
, eixo maior vertical (porque focos verticalmente alinhados), , . - Logo a equação é
Resposta
(a)
(b)
e