Faça um programa que esboce o gráfico das seguintes funções na mesma tela.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente fazer um programa que desenhe o gráfico da função
tudo na mesma “tela” (ou seja, num único plot). O conteúdo aqui envolve funções racionais, domínio, simplificação por divisão de polinômios e, na prática, programação em Python usando NumPy e Matplotlib. A gente vai precisar de:
- Entender o domínio da função (onde ela não está definida).
- Fazer divisão de polinômios para ver seu comportamento.
- Criar um vetor de pontos
, calcular e plotar com Matplotlib.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o domínio: a gente não pode ter
, porque aí dá divisão por zero. Logo
Então a função vale para todo
.
Agora, para facilitar o gráfico, vale lembrar da divisão de polinômios:
Isto mostra que, para
, o gráfico é exatamente a reta
, com um “furinho” (descontinuidade removível) em
.
Passo 3
Bora ao código! Primeiro a gente importa as bibliotecas que vão nos ajudar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
Passo 4
Agora montamos o vetor de
de um jeito que “pule” o ponto
. Uma tática é criar um vetor grande e filtrar:
x = np.linspace(-10, 10, 1000) # 1000 pontos de -10 a 10
mask = np.abs(2*x + 1) > 1e-3 # remove pontos muito próximos de x = -0.5
x_plot = x[mask]
Passo 5
Calculamos
direto pela fórmula original (pra mostrar que dá certo) e também sabemos que é a reta
:
y = (4*x_plot**2 - 1) / (2*x_plot + 1)
# ou simplesmente: y = 2*x_plot - 1
Passo 6
É hora de plotar! A gente desenha a curva, marca o furinho em x = -0.5 e coloca uma linha vertical pontilhada só para ilustrar a descontinuidade:
plt.plot(x_plot, y, label=r'$f(x)=\frac{4x^2-1}{2x+1}$')
# ponto vazio (furinho) em x = -0.5
y_hole = 2*(-0.5) - 1
plt.scatter([-0.5], [y_hole], facecolors='none', edgecolors='red', label='Descontinuidade')
# linha vertical pra lembrar onde tá o problema
plt.axvline(-0.5, linestyle='--', color='gray')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Gráfico de $f(x)=\\frac{4x^2-1}{2x+1}$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Resposta
O programa acima gera o plot de
mostrando que, exceto pelo ponto removível em
, a curva é a reta
.