Para a planta
, projete um controlador da família PID que atenda aos seguintes requisitos para uma entrada do tipo degrau unitário (Valor 2,5).
a. Tempo de subida
;
b. Tempo de acomodação (na faixa de
)
;
c. Overshoot < 10%;
d. Erro de estado estacionário
.
a. Tempo de subida
b. Tempo de acomodação (na faixa de
c. Overshoot < 10%;
d. Erro de estado estacionário
Passo 1
O enunciado dá a planta
e pede que eu projete um controlador da família PID para uma entrada degrau (amplitude
) que satisfaça os requisitos:
a. tempo de subida ;
b. tempo de acomodação (faixa )
;
c. overshoot ;
d. erro de estado estacionário .
a. tempo de subida
b. tempo de acomodação (faixa
c. overshoot
d. erro de estado estacionário
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A planta é um sistema de segunda ordem estável com polos em
e , pois . - Precisamos de um controlador PID (forma clássica) que zere o erro em regime permanente para degrau e melhore a resposta transitória conforme as especificações.
- A entrada é degrau de amplitude
(ou seja, valor final desejado do comando é ).
Passo 2
Escolha do formato do controlador e equação característica em malha fechada.
Vou usar o PID clássico em série com forma algébrica:
Explicação curta (por que usar integral): o termo
garante ganho em
infinito no caminho de malha aberta, o que zera o erro em regime permanente para entrada degrau. Então esse controlador atende ao requisito (d).
Com realimentação unitária, a equação característica da malha fechada é
Substituindo
e
obtemos (multiplicando ambos os lados por
):
Organizando os coeficientes em potência de
:
Ou seja, a característica em malha fechada é um polinômio cúbico cujos coeficientes dependem de
. A estratégia será escolher desiderata para os polos dominantes (com base nas especificações de tempo) e posicionar um terceiro polo rápido para que a dinâmica dominante seja dada pelos dois polos desejados; então igualamos coeficientes para resolver
.
Passo 3
Transformar os requisitos de overshoot e tempos em parâmetros padrão de um sistema de segunda ordem.
Para um sistema subamortecido de segunda ordem com parâmetros naturais
e razão de amortecimento
, a relação entre overshoot máximo
(em razão, não em %) e
é
Temos a especificação
. Para projetar com margem, vou escolher o caso limite
e calcular
correspondente (assim garantimos
).
Cálculo de
:
Definindo
, obtemos
Quadrando e resolvendo:
logo
Interpretação: para obter overshoot próximo a
precisamos de
.
Passo 4
Converter os requisitos de tempo de subida e acomodação em restrições sobre
.
Usarei aproximações usuais de engenharia para um segundo-ordem subamortecido:
- Tempo de acomodação (2%) aproximado por
- Tempo de subida
aproximado por
Estas são aproximações práticas válidas para
.
A partir das especificações:
- De
obtemos
- De
obtemos
A restrição dominante é
. Para ter margem e desempenho um pouco melhor, escolho
Verificação rápida com
e
:
e o overshoot calculado a partir de
é aproximadamente
. Portanto
é uma escolha adequada.
Passo 5
Construir o polinômio desejado de terceira ordem colocando os polos dominantes e um terceiro polo rápido.
Desejo que os dois polos dominantes correspondam à segunda ordem
com
e
, então:
Escolho o terceiro polo em
com
suficientemente maior que os modos dominantes para que ele seja rápido e não deteriore muito o transitório. Uma escolha padrão é
. Assim:
O polinômio desejado em malha fechada é
Expandindo (mostro a álgebra para você copiar na prova):
Calculando os termos:
Logo o polinômio desejado é
Passo 6
Igualar coeficientes para obter
.
Recordando que a característica real é
igualamos termo a termo com o polinômio desejado:
Portanto os ganhos do PID projetado são (com aproximação a duas casas decimais):
Passo 7
Formular o controlador e verificar qualitativamente os requisitos.
O controlador PID encontrado é
Verificações aproximadas:
- Erro em regime permanente para degrau: com
o erro estacionário para degrau é zero, então (e a saída final será igual à amplitude do degrau, isto é ). - Overshoot: projetado para
, o overshoot é aproximadamente (dentro da especificação). - Tempo de subida:
. - Tempo de acomodação (2%):
.
Observações práticas: os ganhos numéricos podem parecer grandes (especialmente
); na prática você poderia reduzir
(colocar o terceiro polo menos agressivo) para diminuir
e
, ou usar anti-windup e filtro no termo derivativo. Também é possível ajustar finamente por simulação (root-locus ou teste em malha fechada) para compensar modelagens aproximadas. Mas a metodologia aqui (colocação de polos dominantes por igualação de coeficientes) satisfaz os requisitos teóricos pedidos.
Resposta
Resposta esperada aproximada: