Para a planta G(s)=\frac{1}{s^{2}+7 s+10}, projete um controlador da família PID que atenda aos seguintes requisitos para uma entrada do tipo degrau unitário (Valor 2,5).
a. Tempo de subida (0-100 \%)<0,5 \mathrm{~s};
b. Tempo de acomodação (na faixa de 2 \% ) <1,5 \mathrm{~s};
c. Overshoot < 10%;
d. Erro de estado estacionário e_{s s}=0.

Passo 1

O enunciado dá a planta
G(s)=\frac{1}{s^{2}+7s+10}
e pede que eu projete um controlador da família PID para uma entrada degrau (amplitude 2{,}5) que satisfaça os requisitos:
a. tempo de subida (0\!-\!100\%)<0{,}5\\ \mathrm{s};
b. tempo de acomodação (faixa 2\%) <1{,}5\\ \mathrm{s};
c. overshoot <10\%;
d. erro de estado estacionário e_{ss}=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A planta é um sistema de segunda ordem estável com polos em s=-5 e s=-2, pois s^{2}+7s+10=(s+5)(s+2).
  • Precisamos de um controlador PID (forma clássica) que zere o erro em regime permanente para degrau e melhore a resposta transitória conforme as especificações.
  • A entrada é degrau de amplitude 2{,}5 (ou seja, valor final desejado do comando é 2{,}5).

Passo 2

Escolha do formato do controlador e equação característica em malha fechada.
Vou usar o PID clássico em série com forma algébrica:
C(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_d s=\frac{K_d s^{2}+K_p s+K_i}{s}.
Explicação curta (por que usar integral): o termo \dfrac{K_i}{s} garante ganho em s=0 infinito no caminho de malha aberta, o que zera o erro em regime permanente para entrada degrau. Então esse controlador atende ao requisito (d).
Com realimentação unitária, a equação característica da malha fechada é
1+C(s)G(s)=0.
Substituindo G(s) e C(s) obtemos (multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+7s+10)):
s(s^{2}+7s+10)+\bigl(K_d s^{2}+K_p s+K_i\bigr)=0.
Organizando os coeficientes em potência de s:
s^{3}+(7+K_d)s^{2}+(10+K_p)s+K_i=0.
Ou seja, a característica em malha fechada é um polinômio cúbico cujos coeficientes dependem de K_d,K_p,K_i. A estratégia será escolher desiderata para os polos dominantes (com base nas especificações de tempo) e posicionar um terceiro polo rápido para que a dinâmica dominante seja dada pelos dois polos desejados; então igualamos coeficientes para resolver K_d,K_p,K_i.

Passo 3

Transformar os requisitos de overshoot e tempos em parâmetros padrão de um sistema de segunda ordem.
Para um sistema subamortecido de segunda ordem com parâmetros naturais \omega_n e razão de amortecimento \zeta, a relação entre overshoot máximo M_p (em razão, não em %) e \zeta é
M_p = e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}.
Temos a especificação M_p<0{,}10. Para projetar com margem, vou escolher o caso limite M_p=0{,}10 e calcular \zeta correspondente (assim garantimos M_p\le 10\%).
Cálculo de \zeta:
\ln(0{,}10)=-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}.
Definindo A=-\ln(0{,}10)=2{,}302585\dots, obtemos
\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{A}{\pi}\approx 0{,}732.
Quadrando e resolvendo:
\zeta^{2}=\frac{(A/\pi)^{2}}{1+(A/\pi)^{2}}\approx\frac{0{,}732^{2}}{1+0{,}732^{2}}\approx0{,}349,
logo
\zeta\approx0{,}591.
Interpretação: para obter overshoot próximo a 10\% precisamos de \zeta\approx0{,}591.

Passo 4

Converter os requisitos de tempo de subida e acomodação em restrições sobre \omega_n.
Usarei aproximações usuais de engenharia para um segundo-ordem subamortecido:
  • Tempo de acomodação (2%) aproximado por
t_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}.
  • Tempo de subida 0\!-\!100\% aproximado por
t_r\approx\frac{1{,}8}{\omega_n}.
Estas são aproximações práticas válidas para 0\le\zeta\lesssim0{,}8.
A partir das especificações:
  • De t_s<1{,}5\\ \mathrm{s} obtemos
\omega_n>\frac{4}{\zeta t_s}=\frac{4}{0{,}591\cdot1{,}5}\approx4{,}51\\ \mathrm{rad/s}.
  • De t_r<0{,}5\\ \mathrm{s} obtemos
\omega_n>\frac{1{,}8}{0{,}5}=3{,}6\\ \mathrm{rad/s}.
A restrição dominante é \omega_n>4{,}51\\ \mathrm{rad/s}. Para ter margem e desempenho um pouco melhor, escolho
\omega_n=5\\ \mathrm{rad/s}.
Verificação rápida com \omega_n=5 e \zeta=0{,}591:
t_r\approx\frac{1{,}8}{5}=0{,}36\\ \mathrm{s}<0{,}5\\ \mathrm{s},
t_s\approx\frac{4}{0{,}591\cdot5}\approx1{,}353\\ \mathrm{s}<1{,}5\\ \mathrm{s},
e o overshoot calculado a partir de \zeta é aproximadamente 10\%. Portanto \omega_n=5 é uma escolha adequada.

Passo 5

Construir o polinômio desejado de terceira ordem colocando os polos dominantes e um terceiro polo rápido.
Desejo que os dois polos dominantes correspondam à segunda ordem
s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2},
com \zeta=0{,}591 e \omega_n=5, então:
2\zeta\omega_n=2\cdot0{,}591\cdot5=5{,}91,
\omega_n^{2}=25.
Escolho o terceiro polo em s=-p_3 com p_3 suficientemente maior que os modos dominantes para que ele seja rápido e não deteriore muito o transitório. Uma escolha padrão é p_3=5\omega_n. Assim:
p_3=5\cdot5=25.
O polinômio desejado em malha fechada é
\bigl(s^{2}+5{,}91 s+25\bigr)(s+25).
Expandindo (mostro a álgebra para você copiar na prova):
(s^{2}+5{,}91 s+25)(s+25)=s^{3}+(25+5{,}91)s^{2}+(5{,}91\cdot25+25)s+25\cdot25.
Calculando os termos:
25+5{,}91=30{,}91,
5{,}91\cdot25+25=147{,}75+25=172{,}75,
25\cdot25=625.
Logo o polinômio desejado é
s^{3}+30{,}91s^{2}+172{,}75s+625.

Passo 6

Igualar coeficientes para obter K_d,K_p,K_i.
Recordando que a característica real é
s^{3}+(7+K_d)s^{2}+(10+K_p)s+K_i,
igualamos termo a termo com o polinômio desejado:
7+K_d = 30{,}91 \quad\Rightarrow\quad K_d=30{,}91-7=23{,}91,
10+K_p = 172{,}75 \quad\Rightarrow\quad K_p=172{,}75-10=162{,}75,
K_i = 625.
Portanto os ganhos do PID projetado são (com aproximação a duas casas decimais):
K_d\approx23{,}91,\quad K_p\approx162{,}75,\quad K_i=625.

Passo 7

Formular o controlador e verificar qualitativamente os requisitos.
O controlador PID encontrado é
C(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_d s =\;162{,}75+\frac{625}{s}+23{,}91\,s.
Verificações aproximadas:
  • Erro em regime permanente para degrau: com K_i>0 o erro estacionário para degrau é zero, então e_{ss}=0 (e a saída final será igual à amplitude do degrau, isto é 2{,}5).
  • Overshoot: projetado para \zeta\approx0{,}591, o overshoot é aproximadamente 10\% (dentro da especificação).
  • Tempo de subida: t_r\approx1{,}8/\omega_n=0{,}36\\ \mathrm{s}<0{,}5\\ \mathrm{s}.
  • Tempo de acomodação (2%): t_s\approx4/(\zeta\omega_n)\approx1{,}35\\ \mathrm{s}<1{,}5\\ \mathrm{s}.
Observações práticas: os ganhos numéricos podem parecer grandes (especialmente K_i); na prática você poderia reduzir p_3 (colocar o terceiro polo menos agressivo) para diminuir K_i e K_p, ou usar anti-windup e filtro no termo derivativo. Também é possível ajustar finamente por simulação (root-locus ou teste em malha fechada) para compensar modelagens aproximadas. Mas a metodologia aqui (colocação de polos dominantes por igualação de coeficientes) satisfaz os requisitos teóricos pedidos.

Resposta

C(s)=162{,}75+\dfrac{625}{s}+23{,}91\,s \
K_p=162{,}75,\;K_i=625,\;K_d=23{,}91 \
Resposta esperada aproximada: t_r\approx0{,}36\\ \mathrm{s},\;t_s\approx1{,}35\\ \mathrm{s},\;M_p\approx10\%,\;e_{ss}=0

Exercícios relacionados