Considerando-se o sinal descrito pela série de Fourier
, é correto afirmar-se que o sinal:
(A) é complexo.
(J) possui média nula.
(C) possui frequencia fundamental igual a
.
(D) é real.
(E) é năo periódico.
(A) é complexo.
(J) possui média nula.
(C) possui frequencia fundamental igual a
(D) é real.
(E) é năo periódico.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que foi dado):\n
- O sinal é dado pela série de Fourier\n
\n - Foram apresentadas alternativas sobre propriedades do sinal: (A) é complexo; (J) possui média nula; (C) possui frequência fundamental igual a
; (D) é real; (E) é não periódico.\n - Observação sobre a imagem: eu notei que a figura enviada parece marcar a alternativa
, mas isso é apenas uma observação da imagem — não vou tomar isso como verdade do enunciado, vou analisar o sinal matematicamente.
Passo 2
Entender como testar se o sinal é real (aula rápida):\n
- Para um sinal expresso como soma de termos do tipo
, a condição suficiente para que seja real é que os coeficientes satisfaçam a simetria conjugada\n \n
onde
é o conjugado complexo de
.\n
- Por que isso garante que
é real? Porque ao somar o par com obtemos\n \n
que é um número real. Assim, cada par de harmônicos conjugados contribui com uma função real; se o termo de média (
) também é real, então todo
é real.\n
- Resumo prático: verificar pares de coeficientes conjugados para concluir se o sinal é real.
Passo 3
Identificar os coeficientes e as frequências dadas pelo enunciado (lista clara):\n
- Termos e coeficientes (estou lendo diretamente da fórmula dada):\n
- coeficiente para
: ;\n - coeficiente para
: ;\n - coeficiente para
: ;\n - coeficiente para
: (note que escrevi explicitamente o sinal menos, pois o termo no enunciado é );\n - coeficiente para
: .\n
- coeficiente para
- Agora verifiquemos a simetria conjugada:\n
-
. OK.\n -
. OK.\n -
é real.\n
-
- Conclusão deste passo: todos os pares correspondentes são conjugados e o termo de média é real, portanto a condição para
ser real é satisfeita.
Passo 4
Mostrar explicitamente que o sinal é real somando os pares (passo-a-passo computacional):\n
- Soma do par com
:\n \n
Usando
(lembre que
), temos\n
\nque é real.\n
- Soma do par com
:\n \n
Usando
e
, obtemos\n
\nque é real.\n
- Termo de média (DC):
é real.\n - Juntando tudo temos a forma real explícita\n
\nmostrando de forma concreta que é real para todo .
Passo 5
Determinar a média do sinal (o que a média significa e cálculo):\n
- A média (valor médio ou componente DC) de um sinal periódico representado por séries exponenciais é o coeficiente
.\n - Aqui
. Portanto a média de é , ou seja, não é nula.\n - Conclusão: a alternativa
(média nula) é falsa.
Passo 6
Verificar se o sinal é periódico e qual é a frequência fundamental (explicação didática):\n
- As frequências presentes no somatório são
(em rad/s), ou seja, são múltiplos inteiros de .\n - A frequência fundamental
é o maior divisor comum (gcd) dos pulsos angulares presentes. Aqui os pulsos (valores absolutos) são e ; o maior divisor comum é . Logo\n \n - O período correspondente é
s, então o sinal é periódico.\n - Portanto a alternativa
(frequência fundamental igual a ) é falsa e a alternativa (não periódico) também é falsa.
Passo 7
Resumo das verificações e escolha final (motivando a resposta):\n
- (A) “é complexo”: falso, porque mostramos que os coeficientes formam pares conjugados e a soma resulta em função real.\n
- (J) “possui média nula”: falso, a média é
.\n - (C) "possui frequência fundamental igual a
": falso, a frequência fundamental é .\n - (D) “é real”: verdadeiro, como demonstrado (expressão real explícita dada no Passo 4).\n
- (E) “é não periódico”: falso, o sinal é periódico com
.\n - Portanto, a única alternativa correta é a letra
.
Resposta
(D)