Considerando-se o sinal descrito pela série de Fourier x(t)=(2+j 2) e^{-j 3 t}+j 2 e^{-j t}+3-j 2 e^{j t}+(2-j 2) e^{j 3 t}, é correto afirmar-se que o sinal:
(A) é complexo.
(J) possui média nula.
(C) possui frequencia fundamental igual a 3 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
(D) é real.
(E) é năo periódico.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que foi dado):\n
  • O sinal é dado pela série de Fourier\n x(t)=(2+j\,2)\,e^{-j3t}+j\,2\,e^{-j t}+3-j\,2\,e^{j t}+(2-j\,2)\,e^{j3t}.\n
  • Foram apresentadas alternativas sobre propriedades do sinal: (A) é complexo; (J) possui média nula; (C) possui frequência fundamental igual a 3\\ \mathrm{rad/s}; (D) é real; (E) é não periódico.\n
  • Observação sobre a imagem: eu notei que a figura enviada parece marcar a alternativa C, mas isso é apenas uma observação da imagem — não vou tomar isso como verdade do enunciado, vou analisar o sinal matematicamente.

Passo 2

Entender como testar se o sinal é real (aula rápida):\n
  • Para um sinal expresso como soma de termos do tipo a_n e^{j n \omega_0 t}, a condição suficiente para que x(t) seja real é que os coeficientes satisfaçam a simetria conjugada\n a_{-n} = a_n^*\quad\text{para todo }n,\n
onde a_n^* é o conjugado complexo de a_n.\n
  • Por que isso garante que x(t) é real? Porque ao somar o par a_n e^{j n \omega_0 t}+a_{-n} e^{-j n \omega_0 t} com a_{-n}=a_n^* obtemos\n a_n e^{j n \omega_0 t}+a_n^* e^{-j n \omega_0 t}=2\Re\{a_n e^{j n \omega_0 t}\},\n
que é um número real. Assim, cada par de harmônicos conjugados contribui com uma função real; se o termo de média ( a_0) também é real, então todo x(t) é real.\n
  • Resumo prático: verificar pares de coeficientes conjugados para concluir se o sinal é real.

Passo 3

Identificar os coeficientes e as frequências dadas pelo enunciado (lista clara):\n
  • Termos e coeficientes (estou lendo diretamente da fórmula dada):\n
    • coeficiente para \omega=-3: a_{-3}=2+j\,2;\n
    • coeficiente para \omega=-1: a_{-1}=j\,2;\n
    • coeficiente para \omega=0: a_{0}=3;\n
    • coeficiente para \omega=+1: a_{1}=-j\,2 (note que escrevi explicitamente o sinal menos, pois o termo no enunciado é -j\,2 e^{j t});\n
    • coeficiente para \omega=+3: a_{3}=2-j\,2.\n
  • Agora verifiquemos a simetria conjugada:\n
    • a_{1}^* = (-j\,2)^* = j\,2 = a_{-1}. OK.\n
    • a_{3}^* = (2-j\,2)^* = 2+j\,2 = a_{-3}. OK.\n
    • a_0=3 é real.\n
  • Conclusão deste passo: todos os pares correspondentes são conjugados e o termo de média é real, portanto a condição para x(t) ser real é satisfeita.

Passo 4

Mostrar explicitamente que o sinal é real somando os pares (passo-a-passo computacional):\n
  • Soma do par com \omega=\pm 1:\n j\,2\,e^{-j t}+(-j\,2)\,e^{j t}=j\,2\bigl(e^{-j t}-e^{j t}\bigr).\n
Usando e^{j\theta}-e^{-j\theta}=2j\sin\theta (lembre que e^{-j\theta}-e^{j\theta}=-2j\sin\theta), temos\n j\,2\bigl(e^{-j t}-e^{j t}\bigr)=j\,2\bigl(-2j\sin t\bigr)=4\sin t,\nque é real.\n
  • Soma do par com \omega=\pm 3:\n (2+j\,2)\,e^{-j3t}+(2-j\,2)\,e^{j3t}=2\bigl(e^{-j3t}+e^{j3t}\bigr)+j\,2\bigl(e^{-j3t}-e^{j3t}\bigr).\n
Usando e^{j\theta}+e^{-j\theta}=2\cos\theta e e^{-j\theta}-e^{j\theta}=-2j\sin\theta, obtemos\n 2\cdot 2\cos(3t)+j\,2\cdot(-2j\sin(3t))=4\cos(3t)+4\sin(3t),\nque é real.\n
  • Termo de média (DC): a_0=3 é real.\n
  • Juntando tudo temos a forma real explícita\n x(t)=3+4\sin t+4\cos(3t)+4\sin(3t),\nmostrando de forma concreta que x(t) é real para todo t.

Passo 5

Determinar a média do sinal (o que a média significa e cálculo):\n
  • A média (valor médio ou componente DC) de um sinal periódico representado por séries exponenciais é o coeficiente a_0.\n
  • Aqui a_0=3. Portanto a média de x(t) é 3, ou seja, não é nula.\n
  • Conclusão: a alternativa J (média nula) é falsa.

Passo 6

Verificar se o sinal é periódico e qual é a frequência fundamental (explicação didática):\n
  • As frequências presentes no somatório são \omega\in\{-3,-1,0,1,3\} (em rad/s), ou seja, são múltiplos inteiros de 1\\ \mathrm{rad/s}.\n
  • A frequência fundamental \omega_0 é o maior divisor comum (gcd) dos pulsos angulares presentes. Aqui os pulsos (valores absolutos) são 1 e 3; o maior divisor comum é 1. Logo\n \omega_0=1\\ \mathrm{rad/s}.\n
  • O período correspondente é T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=2\pi s, então o sinal é periódico.\n
  • Portanto a alternativa C (frequência fundamental igual a 3\\ \mathrm{rad/s}) é falsa e a alternativa E (não periódico) também é falsa.

Passo 7

Resumo das verificações e escolha final (motivando a resposta):\n
  • (A) “é complexo”: falso, porque mostramos que os coeficientes formam pares conjugados e a soma resulta em função real.\n
  • (J) “possui média nula”: falso, a média é a_0=3.\n
  • (C) "possui frequência fundamental igual a 3\\ \mathrm{rad/s}": falso, a frequência fundamental é \omega_0=1\\ \mathrm{rad/s}.\n
  • (D) “é real”: verdadeiro, como demonstrado (expressão real explícita dada no Passo 4).\n
  • (E) “é não periódico”: falso, o sinal é periódico com T_0=2\pi.\n
  • Portanto, a única alternativa correta é a letra D.

Resposta

(D)

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