Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
x^{3}=2 x+5

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método da bisseção por quatro iterações para aproximar uma raiz da equação
x^{3}=2x+5
e calcular o erro a cada iteração. Informações dadas e objetivo claro:
  • A equação pode ser escrita como uma função cujo zero queremos: f(x)=x^{3}-2x-5.
  • Objetivo: usar o método da bisseção (quatro iterações) e calcular o erro associado a cada iteração.

Passo 2

Preparando o método e relembrando fórmulas (mini-aula rápida e prática).
  • Definição de f:
f(x)=x^{3}-2x-5.
  • Condição para aplicar a bisseção: escolher um intervalo [a,b] em que f(a)\cdot f(b)<0 (ou seja, f muda de sinal e, assumindo f contínua, existe pelo menos uma raiz em [a,b]).
  • Em cada iteração, calcula-se o ponto médio
c=\frac{a+b}{2},
avalia-se f\text{(c)} e substitui-se o intervalo por [a,c] ou [c,b] conforme o sinal (mantendo sempre um intervalo com mudança de sinal).
  • Cota do erro absoluto após n iterações (meia largura do intervalo):
E_n \le \frac{b-a}{2^{n}}.
Essa é a forma prática de afirmar “até que erro estamos” sem conhecer a raiz exata. Outra medida útil é a diferença entre aproximações sucessivas |c_{n}-c_{n-1}|, que para bisseção é igual à cota E_n.

Passo 3

Escolher um intervalo inicial [a,b].
  • Testar valores inteiros simples:
f(2)=2^{3}-2\cdot2-5=8-4-5=-1<0,
f(3)=3^{3}-2\cdot3-5=27-6-5=16>0.
Como f(2)\cdot f(3)<0, existe pelo menos uma raiz em [2,3]. Portanto escolhemos [a_{0},b_{0}]=[2,3]. A largura inicial é b_{0}-a_{0}=1.

Passo 4

Iteração 1:
  • Ponto médio:
c_{1}=\frac{2+3}{2}=2,5.
  • Avaliar f em c_{1}:
f(2,5)=2,5^{3}-2\cdot2,5-5=15,625-5-5=5,625>0.
  • Como f(2)<0 e f(2,5)>0, a raiz está em [2,2,5]. Novo intervalo: [a_{1},b_{1}]=[2,2,5].
  • Cota do erro após 1 iteração:
E_{1}\le\frac{3-2}{2^{1}}=\frac{1}{2}=0,5.
  • Diferença entre aproximações (não havia c_{0} anterior, mas a meia-largura do novo intervalo é 0,5).

Passo 5

Iteração 2:
  • Ponto médio:
c_{2}=\frac{2+2,5}{2}=2,25.
  • Avaliar f em c_{2}:
f(2,25)=2,25^{3}-2\cdot2,25-5=11,390625-4,5-5=1,890625>0.
  • Como f(2)<0 e f(2,25)>0, a raiz está em [2,2,25]. Novo intervalo: [a_{2},b_{2}]=[2,2,25].
  • Cota do erro após 2 iterações:
E_{2}\le\frac{3-2}{2^{2}}=\frac{1}{4}=0,25.
  • Diferença entre aproximações:
|c_{2}-c_{1}|=|2,25-2,5|=0,25,
que coincide com a nova meia-largura.

Passo 6

Iteração 3:
  • Ponto médio:
c_{3}=\frac{2+2,25}{2}=2,125.
  • Avaliar f em c_{3}:
f(2,125)=2,125^{3}-2\cdot2,125-5=9,595703125-4,25-5=0,345703125>0.
  • Como f(2)<0 e f(2,125)>0, a raiz está em [2,2,125]. Novo intervalo: [a_{3},b_{3}]=[2,2,125].
  • Cota do erro após 3 iterações:
E_{3}\le\frac{3-2}{2^{3}}=\frac{1}{8}=0,125.
  • Diferença entre aproximações:
|c_{3}-c_{2}|=|2,125-2,25|=0,125.

Passo 7

Iteração 4:
  • Ponto médio:
c_{4}=\frac{2+2,125}{2}=2,0625.
  • Avaliar f em c_{4}:
f(2,0625)=2,0625^{3}-2\cdot2,0625-5=8,773681640625-4,125-5=-0,351318359375<0.
  • Agora f(2,0625)<0 e f(2,125)>0, logo a raiz está em [2,0625,2,125]. Novo intervalo: [a_{4},b_{4}]=[2,0625,2,125].
  • Cota do erro após 4 iterações:
E_{4}\le\frac{3-2}{2^{4}}=\frac{1}{16}=0,0625.
  • Diferença entre aproximações:
|c_{4}-c_{3}|=|2,0625-2,125|=0,0625.

Passo 8

Resumo das quatro iterações e dos erros (cada linha: iteração, aproximação c_{n}, sinal f(c_{n}), cota de erro E_{n} e diferença para iteração anterior):
  • Iteração 1: c_{1}=2,5, f(c_{1})=5,625>0, E_{1}\le0,5.
  • Iteração 2: c_{2}=2,25, f(c_{2})=1,890625>0, E_{2}\le0,25.
  • Iteração 3: c_{3}=2,125, f(c_{3})=0,345703125>0, E_{3}\le0,125.
  • Iteração 4: c_{4}=2,0625, f(c_{4})=-0,351318359375<0, E_{4}\le0,0625.

Resposta

Aproximação após 4 iterações: 2,0625
Cota do erro após 4 iterações: 0,0625

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