Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método da bisseção por quatro iterações para aproximar uma raiz da equação
e calcular o erro a cada iteração. Informações dadas e objetivo claro:
- A equação pode ser escrita como uma função cujo zero queremos:
. - Objetivo: usar o método da bisseção (quatro iterações) e calcular o erro associado a cada iteração.
Passo 2
Preparando o método e relembrando fórmulas (mini-aula rápida e prática).
- Definição de
:
- Condição para aplicar a bisseção: escolher um intervalo
em que (ou seja, muda de sinal e, assumindo contínua, existe pelo menos uma raiz em ). - Em cada iteração, calcula-se o ponto médio
avalia-se
e substitui-se o intervalo por
ou
conforme o sinal (mantendo sempre um intervalo com mudança de sinal).
- Cota do erro absoluto após
iterações (meia largura do intervalo):
Essa é a forma prática de afirmar “até que erro estamos” sem conhecer a raiz exata. Outra medida útil é a diferença entre aproximações sucessivas
, que para bisseção é igual à cota
.
Passo 3
Escolher um intervalo inicial
.
- Testar valores inteiros simples:
Como
, existe pelo menos uma raiz em
. Portanto escolhemos
. A largura inicial é
.
Passo 4
Iteração 1:
- Ponto médio:
- Avaliar
em :
- Como
e , a raiz está em . Novo intervalo: . - Cota do erro após 1 iteração:
- Diferença entre aproximações (não havia
anterior, mas a meia-largura do novo intervalo é ).
Passo 5
Iteração 2:
- Ponto médio:
- Avaliar
em :
- Como
e , a raiz está em . Novo intervalo: . - Cota do erro após 2 iterações:
- Diferença entre aproximações:
que coincide com a nova meia-largura.
Passo 6
Iteração 3:
- Ponto médio:
- Avaliar
em :
- Como
e , a raiz está em . Novo intervalo: . - Cota do erro após 3 iterações:
- Diferença entre aproximações:
Passo 7
Iteração 4:
- Ponto médio:
- Avaliar
em :
- Agora
e , logo a raiz está em . Novo intervalo: . - Cota do erro após 4 iterações:
- Diferença entre aproximações:
Passo 8
Resumo das quatro iterações e dos erros (cada linha: iteração, aproximação
, sinal
, cota de erro
e diferença para iteração anterior):
- Iteração 1:
, , . - Iteração 2:
, , . - Iteração 3:
, , . - Iteração 4:
, , .
Resposta
Aproximação após 4 iterações:
Cota do erro após 4 iterações:
Cota do erro após 4 iterações: