Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
Passo 1
O enunciado pede: executar quatro iterações do método da bisseção para encontrar uma raiz da equação
e calcular o erro a cada iteração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação pode ser rearranjada para a forma de função
cuja raiz procuramos.
- Avaliando em pontos simples (isto é informação usada para montar o intervalo inicial):
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
(há mudança de sinal).
O que será entregue: as quatro iterações do método da bisseção, a atualização do intervalo em cada iteração e o cálculo do erro a cada uma.
Passo 2
Breve lembrete (fórmula e conceito que vou usar).
- Definição do método da bisseção: dado um intervalo
com , o método escolhe o ponto médio
e verifica o sinal de
. Se
a raiz está em
; se
a raiz está em
. Repetir aplica a bisseção sucessivamente.
- Estimativa de erro (cota): após
iterações, o erro absoluto do ponto médio em relação à raiz verdadeira é no máximo
onde
e
são os extremos iniciais do intervalo. Aqui
e
, então a cota é
.
- Para acompanhar de forma prática também uso a diferença absoluta entre midpoints consecutivos como erro aproximado entre iterações:
Vou explicar e mostrar todos os cálculos numéricos passo a passo.
Passo 3
Iteração 1:
- Intervalo inicial:
, . - Ponto médio:
- Avaliação de
em :
Usando
, obtemos
- Como
e têm sinais opostos ( , ), a nova base para a próxima iteração é
- Erros:
- Cota teórica após 1 iteração:
- Não há
(diferença entre midpoints) porque não existia ; a primeira mudança útil será entre e .
Passo 4
Iteração 2:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Usando
(observe que
é negativo), obtemos
- Como
e , a raiz está em . Atualiza-se:
- Erros:
- Cota teórica após 2 iterações:
- Diferença entre midpoints (erro aproximado entre iterações):
Passo 5
Iteração 3:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Usando
, obtemos
- Como
e , a raiz está em . Atualiza-se:
- Erros:
- Cota teórica após 3 iterações:
- Diferença entre midpoints:
Passo 6
Iteração 4:
- Intervalo atual:
, . - Ponto médio:
- Avaliação:
Usando
(valor aproximado), obtemos
- Agora
e , então a raiz está em . Após a quarta iteração temos o intervalo final
- Erros:
- Cota teórica após 4 iterações:
- Diferença entre midpoints:
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova:
- Em cada iteração o método devolve o ponto médio
como aproximação da raiz. Após 4 iterações a aproximação obtida foi . - A cota teórica de erro decai pela forma
; aqui isso dá as cotas numéricas indicadas em cada iteração. - Na prova: escolha um intervalo inicial com mudança de sinal (avaliando
em pontos simples), calcule o ponto médio com aritmética simples e avalie o sinal de nesse ponto; repita as bisseções até o número de iterações desejado. Para estimar o erro use a cota — é rápida e aceita na maioria das provas.