Faça quatro iterações, calculando o erro a cada iteração, usando o método da bisseção para determinar uma raiz da equação:
2 x=\sin x+10

Passo 1

O enunciado pede: executar quatro iterações do método da bisseção para encontrar uma raiz da equação
2x=\sin x+10
e calcular o erro a cada iteração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser rearranjada para a forma de função
f(x)=2x-\sin x-10,
cuja raiz procuramos.
  • Avaliando em pontos simples (isto é informação usada para montar o intervalo inicial):
f(0)=2\cdot 0-\sin 0-10=-10,
f(5)=2\cdot 5-\sin 5-10=10-\sin 5-10=-\sin 5\approx 0{,}95892.
Como f(0)<0 e f(5)>0, existe pelo menos uma raiz em [0,5] (há mudança de sinal).
O que será entregue: as quatro iterações do método da bisseção, a atualização do intervalo em cada iteração e o cálculo do erro a cada uma.

Passo 2

Breve lembrete (fórmula e conceito que vou usar).
  • Definição do método da bisseção: dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, o método escolhe o ponto médio
m=\frac{a+b}{2}
e verifica o sinal de f(m). Se f(a)\cdot f(m)<0 a raiz está em [a,m]; se f(m)\cdot f(b)<0 a raiz está em [m,b]. Repetir aplica a bisseção sucessivamente.
  • Estimativa de erro (cota): após k iterações, o erro absoluto do ponto médio m_k em relação à raiz verdadeira é no máximo
\text{erro}_k \le \frac{b_0-a_0}{2^{k}},
onde a_0 e b_0 são os extremos iniciais do intervalo. Aqui a_0=0 e b_0=5, então a cota é \dfrac{5}{2^{k}}.
  • Para acompanhar de forma prática também uso a diferença absoluta entre midpoints consecutivos como erro aproximado entre iterações:
\Delta_k = |m_k-m_{k-1}|.
Vou explicar e mostrar todos os cálculos numéricos passo a passo.

Passo 3

Iteração 1:
  • Intervalo inicial: a_0=0, b_0=5.
  • Ponto médio:
m_1=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{0+5}{2}=2{,}5.
  • Avaliação de f em m_1:
f(2{,}5)=2\cdot 2{,}5-\sin(2{,}5)-10=5-\sin(2{,}5)-10=-5-\sin(2{,}5).
Usando \sin(2{,}5)\approx 0{,}598472, obtemos
f(2{,}5)\approx -5-0{,}598472=-5{,}598472<0.
  • Como f(2{,}5) e f(5) têm sinais opostos ( f(2{,}5)<0, f(5)>0), a nova base para a próxima iteração é
a_1=2{,}5,\qquad b_1=5.
  • Erros:
    • Cota teórica após 1 iteração:
    \text{erro}_1 \le \frac{5}{2^{1}}=2{,}5.
    • Não há \Delta_1 (diferença entre midpoints) porque não existia m_0; a primeira mudança útil será entre m_2 e m_1.

Passo 4

Iteração 2:
  • Intervalo atual: a_1=2{,}5, b_1=5.
  • Ponto médio:
m_2=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{2{,}5+5}{2}=3{,}75.
  • Avaliação:
f(3{,}75)=2\cdot 3{,}75-\sin(3{,}75)-10=7{,}5-\sin(3{,}75)-10=-2{,}5-\sin(3{,}75).
Usando \sin(3{,}75)\approx -0{,}571561 (observe que \sin(3{,}75) é negativo), obtemos
f(3{,}75)\approx -2{,}5-(-0{,}571561)=-1{,}928439<0.
  • Como f(3{,}75)<0 e f(5)>0, a raiz está em [3{,}75,5]. Atualiza-se:
a_2=3{,}75,\qquad b_2=5.
  • Erros:
    • Cota teórica após 2 iterações:
    \text{erro}_2 \le \frac{5}{2^{2}}=1{,}25.
    • Diferença entre midpoints (erro aproximado entre iterações):
    \Delta_2=|m_2-m_1|=|3{,}75-2{,}5|=1{,}25.

Passo 5

Iteração 3:
  • Intervalo atual: a_2=3{,}75, b_2=5.
  • Ponto médio:
m_3=\frac{a_2+b_2}{2}=\frac{3{,}75+5}{2}=4{,}375.
  • Avaliação:
f(4{,}375)=2\cdot 4{,}375-\sin(4{,}375)-10=8{,}75-\sin(4{,}375)-10=-1{,}25-\sin(4{,}375).
Usando \sin(4{,}375)\approx -0{,}943455, obtemos
f(4{,}375)\approx -1{,}25-(-0{,}943455)=-0{,}306545<0.
  • Como f(4{,}375)<0 e f(5)>0, a raiz está em [4{,}375,5]. Atualiza-se:
a_3=4{,}375,\qquad b_3=5.
  • Erros:
    • Cota teórica após 3 iterações:
    \text{erro}_3 \le \frac{5}{2^{3}}=0{,}625.
    • Diferença entre midpoints:
    \Delta_3=|m_3-m_2|=|4{,}375-3{,}75|=0{,}625.

Passo 6

Iteração 4:
  • Intervalo atual: a_3=4{,}375, b_3=5.
  • Ponto médio:
m_4=\frac{a_3+b_3}{2}=\frac{4{,}375+5}{2}=4{,}6875.
  • Avaliação:
f(4{,}6875)=2\cdot 4{,}6875-\sin(4{,}6875)-10=9{,}375-\sin(4{,}6875)-10=-0{,}625-\sin(4{,}6875).
Usando \sin(4{,}6875)\approx -0{,}999690 (valor aproximado), obtemos
f(4{,}6875)\approx -0{,}625-(-0{,}999690)=0{,}374690>0.
  • Agora f(4{,}375)<0 e f(4{,}6875)>0, então a raiz está em [4{,}375,4{,}6875]. Após a quarta iteração temos o intervalo final
a_4=4{,}375,\qquad b_4=4{,}6875.
  • Erros:
    • Cota teórica após 4 iterações:
    \text{erro}_4 \le \frac{5}{2^{4}}=0{,}3125.
    • Diferença entre midpoints:
    \Delta_4=|m_4-m_3|=|4{,}6875-4{,}375|=0{,}3125.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova:
  • Em cada iteração o método devolve o ponto médio m_k como aproximação da raiz. Após 4 iterações a aproximação obtida foi m_4=4{,}6875.
  • A cota teórica de erro decai pela forma \dfrac{b_0-a_0}{2^{k}}; aqui isso dá as cotas numéricas indicadas em cada iteração.
  • Na prova: escolha um intervalo inicial com mudança de sinal (avaliando f em pontos simples), calcule o ponto médio com aritmética simples e avalie o sinal de f nesse ponto; repita as bisseções até o número de iterações desejado. Para estimar o erro use a cota \dfrac{b_0-a_0}{2^{k}} — é rápida e aceita na maioria das provas.

Resposta

m_1=2{,}5,\quad\text{erro}\le 2{,}5
m_2=3{,}75,\quad\text{erro}\le 1{,}25
m_3=4{,}375,\quad\text{erro}\le 0{,}625
m_4=4{,}6875,\quad\text{erro}\le 0{,}3125

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