Logo, para verificar invertibilidade num exame rápido basta calcular ad-bc.]
Passo 3
Aplicando a fórmula do determinante à matriz A. Aqui a=1, b=2, c=2, d=4. Então
\det(A)=ad-bc=1\cdot4-2\cdot2.
Passo 4
Calculemos o valor:
\det(A)=4-4=0.
Como \det(A)=0, a condição necessária e suficiente para invertibilidade falha.
Passo 5
Conclusão a partir do determinante: como \det(A)=0, a matriz A é singular e, portanto, não possui inversa. Em palavras simples: não existe A^{-1} tal que AA^{-1}=I_2.
Passo 6
Verificação alternativa (útil em prova): observar dependência linear entre linhas (ou colunas). A segunda linha é o dobro da primeira, pois
(2,4)=2\cdot(1,2).
Duas linhas proporcionais significam que as linhas são linearmente dependentes, então o posto (rank) de A é 1<2. Posto menor que o tamanho implica não invertibilidade.
Passo 7
Exemplo concreto de vetor não nulo no núcleo (nullspace) para reforçar: tomar x=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}. Então
A x=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot(-1)\\[4pt]2\cdot2+4\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Existência de vetor não nulo com Ax=0 confirma que A não é invertível.]