Verifique se a matriz A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 4\end{array}\right] é invertível e justifique.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}
e pede para verificar se A é invertível e justificar a resposta. Informações relevantes:
  • A matriz é 2\times2.
  • Devemos decidir se existe uma matriz A^{-1} tal que A A^{-1}=A^{-1}A=I_2.]

Passo 2

Definição e método direto para 2\times2: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Para uma matriz
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
o determinante é dado por
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Além disso, quando \det\neq0 a fórmula explícita do inverso é
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Logo, para verificar invertibilidade num exame rápido basta calcular ad-bc.]

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante à matriz A. Aqui a=1, b=2, c=2, d=4. Então
\det(A)=ad-bc=1\cdot4-2\cdot2.

Passo 4

Calculemos o valor:
\det(A)=4-4=0.
Como \det(A)=0, a condição necessária e suficiente para invertibilidade falha.

Passo 5

Conclusão a partir do determinante: como \det(A)=0, a matriz A é singular e, portanto, não possui inversa. Em palavras simples: não existe A^{-1} tal que AA^{-1}=I_2.

Passo 6

Verificação alternativa (útil em prova): observar dependência linear entre linhas (ou colunas). A segunda linha é o dobro da primeira, pois
(2,4)=2\cdot(1,2).
Duas linhas proporcionais significam que as linhas são linearmente dependentes, então o posto (rank) de A é 1<2. Posto menor que o tamanho implica não invertibilidade.

Passo 7

Exemplo concreto de vetor não nulo no núcleo (nullspace) para reforçar: tomar x=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}. Então
A x=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot(-1)\\[4pt]2\cdot2+4\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Existência de vetor não nulo com Ax=0 confirma que A não é invertível.]

Resposta

A matriz A não é invertível.

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