Faça um roteiro para construir o ângulo
.
Passo 1
O que o problema pede: construir com régua e compasso um ângulo de
rad (ou seja,
).
Informações dadas / ferramentas disponíveis: régua não graduada (para traçar retas/semirretas) e compasso (para traçar arcos). Não há outras medidas numéricas prévias — você escolherá um segmento inicial arbitrário como referência.
Informações dadas / ferramentas disponíveis: régua não graduada (para traçar retas/semirretas) e compasso (para traçar arcos). Não há outras medidas numéricas prévias — você escolherá um segmento inicial arbitrário como referência.
Passo 2
Desenhe o vértice e a semirreta inicial.
- Escolha um ponto
no papel: será o vértice do ângulo. - Com a régua, trace uma semirreta a partir de
; chame-a de semirreta . Escolha um ponto sobre essa semirreta, com .
Observação didática: escolhemoscomo lado inicial do ângulo; qualquer comprimento serve, pois construções com compasso são escala-invariantes.
Passo 3
Construa um triângulo equilátero com um dos lados igual a
— isso gera um ângulo de
em
.
- Com o compasso centrado em
e raio , trace um arco (círculo parcial) cortando o espaço ao redor de . Esse arco passa por . - Sem alterar o raio, com o compasso centrado em
trace outro arco que intersecta o arco anterior em dois pontos; escolha um desses pontos de interseção e chame-o de . (Pegou o dado: usei o comprimento como raio — isso vem do passo anterior.) - Una
a e a com a régua. O triângulo é equilátero porque (cada uma das duas construções com compasso usou o mesmo raio).
Razão didática: em um triângulo equilátero todos os lados são iguais e, portanto, todos os ângulos internos valem. Assim, .
Passo 4
Vamos agora bissetar o ângulo
para obter
. Explico a construção da bissetriz passo a passo.
- Com o compasso centrado em
, escolha um raio que corte ambas as semirretas e . Como no equilátero, você pode usar o mesmo raio ; esse arco cortará em e em . Denote esses pontos de interseção por em e em . (No nosso caso e .) - Com o compasso agora centrado em
faça um arco com raio conveniente (maior que metade de — escolha por exemplo o próprio ou algo entre e ). - Sem alterar esse raio, com o compasso centrado em
faça outro arco que intersecte o arco do passo anterior. Marque o ponto de interseção desses dois arcos e chame-o de . (Se houver duas interseções, escolha a que fica dentro do ângulo .) - Trace a reta (semirreta)
unindo a . A semirreta é a bissetriz de .
Razão didática: os pontose estão equidistantes de pelo arco traçado; os arcos centrados em e com o mesmo raio determinam tal que . A reta passa pelo ponto equidistante das duas semirretas e, pela construção clássica da bissetriz, divide o ângulo ao meio.
Passo 5
Mostre que o ângulo obtido vale
.
- Pela construção do triângulo equilátero,
. - Porque
é a bissetriz de , temos . - Portanto
. Em graus: .
Concluímos que a semirretaforma com um ângulo de rad.
Passo 6
Verificação prática e dicas para a prova (pequena aula prática).
- Como checar sem transferidor: confirme que
(triângulo equilátero) e que você executou corretamente a bissetriz (os arcos centrados em e com mesmo raio se encontram em ). - Se na execução houver imprecisão, refaça os arcos com cuidado, mantendo os mesmos raios quando necessário.
- Observação matemática curta: em radianos a relação é
; em provas é bom lembrar essa conversão.