Faça um roteiro para construir o ângulo \frac{\pi}{6} \mathrm{rad}.

Passo 1

O que o problema pede: construir com régua e compasso um ângulo de \frac{\pi}{6} rad (ou seja, 30^\circ).
Informações dadas / ferramentas disponíveis: régua não graduada (para traçar retas/semirretas) e compasso (para traçar arcos). Não há outras medidas numéricas prévias — você escolherá um segmento inicial arbitrário como referência.

Passo 2

Desenhe o vértice e a semirreta inicial.
  1. Escolha um ponto O no papel: será o vértice do ângulo.
  2. Com a régua, trace uma semirreta a partir de O; chame-a de semirreta OA. Escolha um ponto A sobre essa semirreta, com A\neq O.
    Observação didática: escolhemos OA como lado inicial do ângulo; qualquer comprimento OA serve, pois construções com compasso são escala-invariantes.

Passo 3

Construa um triângulo equilátero com um dos lados igual a OA — isso gera um ângulo de 60^\circ=\frac{\pi}{3} em O.
  1. Com o compasso centrado em O e raio |OA|, trace um arco (círculo parcial) cortando o espaço ao redor de O. Esse arco passa por A.
  2. Sem alterar o raio, com o compasso centrado em A trace outro arco que intersecta o arco anterior em dois pontos; escolha um desses pontos de interseção e chame-o de B. (Pegou o dado: usei o comprimento OA como raio — isso vem do passo anterior.)
  3. Una O a B e A a B com a régua. O triângulo OAB é equilátero porque OA=OB=AB (cada uma das duas construções com compasso usou o mesmo raio).
    Razão didática: em um triângulo equilátero todos os lados são iguais e, portanto, todos os ângulos internos valem 60^\circ. Assim, \angle AOB = 60^\circ = \frac{\pi}{3}.

Passo 4

Vamos agora bissetar o ângulo \angle AOB para obter 30^\circ=\frac{\pi}{6}. Explico a construção da bissetriz passo a passo.
  1. Com o compasso centrado em O, escolha um raio que corte ambas as semirretas OA e OB. Como OA=OB no equilátero, você pode usar o mesmo raio |OA|; esse arco cortará OA em A e OB em B. Denote esses pontos de interseção por C em OA e D em OB. (No nosso caso C=A e D=B.)
  2. Com o compasso agora centrado em C faça um arco com raio conveniente (maior que metade de |CD| — escolha por exemplo o próprio |CD| ou algo entre |CD|/2 e |CD|).
  3. Sem alterar esse raio, com o compasso centrado em D faça outro arco que intersecte o arco do passo anterior. Marque o ponto de interseção desses dois arcos e chame-o de E. (Se houver duas interseções, escolha a que fica dentro do ângulo \angle COD.)
  4. Trace a reta (semirreta) OE unindo O a E. A semirreta OE é a bissetriz de \angle AOB.
    Razão didática: os pontos C e D estão equidistantes de O pelo arco traçado; os arcos centrados em C e D com o mesmo raio determinam E tal que |EC|=|ED|. A reta OE passa pelo ponto equidistante das duas semirretas e, pela construção clássica da bissetriz, divide o ângulo ao meio.

Passo 5

Mostre que o ângulo obtido vale \frac{\pi}{6}.
  1. Pela construção do triângulo equilátero, \angle AOB=\frac{\pi}{3}.
  2. Porque OE é a bissetriz de \angle AOB, temos \angle AOE=\angle EOB=\tfrac{1}{2}\angle AOB.
  3. Portanto \angle AOE=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}. Em graus: \tfrac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ.
    Concluímos que a semirreta OE forma com OA um ângulo de \frac{\pi}{6} rad.

Passo 6

Verificação prática e dicas para a prova (pequena aula prática).
  • Como checar sem transferidor: confirme que OA=OB (triângulo equilátero) e que você executou corretamente a bissetriz (os arcos centrados em C e D com mesmo raio se encontram em E).
  • Se na execução houver imprecisão, refaça os arcos com cuidado, mantendo os mesmos raios quando necessário.
  • Observação matemática curta: em radianos a relação é 30^\circ=\frac{30\pi}{180}=\frac{\pi}{6}; em provas é bom lembrar essa conversão.

Resposta

\angle AOE=\dfrac{\pi}{6}

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