Dados os pontos A e B divida o segmento A B em três partes iguais e depois em n partes iguais.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Dividir o segmento AB em três partes iguais.
  • Depois, dividir o mesmo segmento AB em n partes iguais.
Informações dadas:
  • Temos apenas os pontos A e B (sem coordenadas explícitas).
  • Podemos assumir que A e B são pontos quaisquer no plano e mostrar um método algébrico (coord.) e um método de construção geométrica (régua e compasso).
  • Não são solicitadas restrições extras (por exemplo, usar só régua), então apresentarei ambos os métodos e mostrarei por que funcionam.

Passo 2

Método com coordenadas / vetores — ideia principal (explicação didática):
  • Pense no segmento AB como o conjunto dos pontos que você obtém ao “andar” de A para B. Se você anda uma fração t do caminho, chega a um ponto P com posição dada por uma combinação linear entre A e B.
  • Se representarmos A por \,(x_A,y_A)\, e B por \,(x_B,y_B)\,, o vetor que vai de A até B é
\vec{AB} = (x_B-x_A,\;y_B-y_A).
  • O ponto que está na fração t do caminho de A a B (com 0\le t\le1) é dado pela equação paramétrica
P(t) = A + t\,\vec{AB}.
Isto significa, coordenada a coordenada,
P(t)=\bigl(x_A + t(x_B-x_A),\;y_A + t(y_B-y_A)\bigr).
  • Por que isso fornece partes iguais? Porque a distância |AP(t)| é proporcional a t:
|AP(t)| = \|t\vec{AB}\| = t\|\vec{AB}\| = t\,|AB|.
Assim, se tomamos t=k/m obtemos que AP = \dfrac{k}{m}AB, ou seja, P está a uma fração k/m do comprimento total.

Passo 3

Aplicando o método das coordenadas para dividir em três partes iguais:
  • Para três partes iguais tomamos t=\dfrac{1}{3} e t=\dfrac{2}{3}.
  • Os pontos que dividem AB em três partes iguais são
P_1 = \bigl(x_A + \tfrac{1}{3}(x_B-x_A),\;y_A + \tfrac{1}{3}(y_B-y_A)\bigr),
P_2 = \bigl(x_A + \tfrac{2}{3}(x_B-x_A),\;y_A + \tfrac{2}{3}(y_B-y_A)\bigr).
  • Intuição prática: P_1 é um terço do caminho de A a B; P_2 é dois terços do caminho.

Passo 4

Aplicando o método das coordenadas para dividir em n partes iguais:
  • Para dividir em n partes iguais, os pontos interiores são dados por t=\dfrac{k}{n} para k=1,2,\dots,n-1.
  • Assim, o k-ésimo ponto de divisão é
P_k = \bigl(x_A + \tfrac{k}{n}(x_B-x_A),\;y_A + \tfrac{k}{n}(y_B-y_A)\bigr),\quad k=1,\dots,n-1.
  • Isso dá n-1 pontos que, juntos com A e B, partem AB em n segmentos congruentes.

Passo 5

Método geométrico clássico (régua e compasso) — construção passo a passo e por que funciona:
Procedimento (serve tanto para 3 partes quanto para n partes; basta escolher n apropriado):
  1. A partir de A, desenhe um raio qualquer em direção diferente de B. No raio marque consecutivamente n segmentos iguais com o compasso (faça um segmento de comprimento conveniente e copie-o n vezes). Nomeie os pontos marcados C_1,C_2,\dots,C_n, com C_1 mais próximo de A e C_n o último.
  2. Una C_n a B por uma linha reta.
  3. Para cada i=1,\dots,n-1, trace por C_i uma reta paralela a C_nB (isso pode ser feito com régua e compasso copiando ângulos ou usando construção de retas paralelas). Cada paralela intersecta o segmento AB em um ponto P_i.
  4. Os pontos P_1,\dots,P_{n-1} dividem AB em n partes iguais. Para o caso de 3 partes, faça n=3 e terá as duas interseções.
Por que funciona (explicação via triângulos semelhantes, didática):
  • Os triângulos formados entre o raio e o segmento AB são pares de triângulos que têm os mesmos ângulos (ângulos correspondentes formados por paralelas), logo são semelhantes.
  • Em triângulos semelhantes, os comprimentos correspondentes estão na mesma razão. Como você marcou segmentos iguais no raio, a razão entre a posição do i-ésimo ponto no raio e a última posição é \dfrac{i}{n}. Pela semelhança, a razão entre AP_i e AB é a mesma \dfrac{i}{n}. Assim AP_i = \dfrac{i}{n}AB, o que garante que os pedaços de AB são iguais.

Passo 6

Exemplo numérico curto para fixar (bem mastigado):
  • Suponha A=(1,2) e B=(7,5). Então \vec{AB}=(6,3).
  • Para três partes, \tfrac{1}{3}\vec{AB}=(2,1) e \tfrac{2}{3}\vec{AB}=(4,2).
  • Logo
P_1=(1,2)+(2,1)=(3,3),\qquad P_2=(1,2)+(4,2)=(5,4).
Você pode checar que as distâncias |AP_1|,|P_1P_2|,|P_2B| são iguais (cada uma tem comprimento \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} no exemplo).

Resposta

P_1=\bigl(x_A+\tfrac{1}{3}(x_B-x_A),\;y_A+\tfrac{1}{3}(y_B-y_A)\bigr)
P_2=\bigl(x_A+\tfrac{2}{3}(x_B-x_A),\;y_A+\tfrac{2}{3}(y_B-y_A)\bigr)
P_k=\bigl(x_A+\tfrac{k}{n}(x_B-x_A),\;y_A+\tfrac{k}{n}(y_B-y_A)\bigr),\quad k=1,\dots,n-1

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