Dados os pontos
e
divida o segmento
em três partes iguais e depois em
partes iguais.
Passo 1
O que o problema pede:
- Dividir o segmento
em três partes iguais. - Depois, dividir o mesmo segmento
em partes iguais.
Informações dadas:
- Temos apenas os pontos
e (sem coordenadas explícitas). - Podemos assumir que
e são pontos quaisquer no plano e mostrar um método algébrico (coord.) e um método de construção geométrica (régua e compasso). - Não são solicitadas restrições extras (por exemplo, usar só régua), então apresentarei ambos os métodos e mostrarei por que funcionam.
Passo 2
Método com coordenadas / vetores — ideia principal (explicação didática):
- Pense no segmento
como o conjunto dos pontos que você obtém ao “andar” de para . Se você anda uma fração do caminho, chega a um ponto com posição dada por uma combinação linear entre e . - Se representarmos
por e por , o vetor que vai de até é
- O ponto que está na fração
do caminho de a (com ) é dado pela equação paramétrica
Isto significa, coordenada a coordenada,
- Por que isso fornece partes iguais? Porque a distância
é proporcional a :
Assim, se tomamos
obtemos que
, ou seja,
está a uma fração
do comprimento total.
Passo 3
Aplicando o método das coordenadas para dividir em três partes iguais:
- Para três partes iguais tomamos
e . - Os pontos que dividem
em três partes iguais são
- Intuição prática:
é um terço do caminho de a ; é dois terços do caminho.
Passo 4
Aplicando o método das coordenadas para dividir em
partes iguais:
- Para dividir em
partes iguais, os pontos interiores são dados por para . - Assim, o
-ésimo ponto de divisão é
- Isso dá
pontos que, juntos com e , partem em segmentos congruentes.
Passo 5
Método geométrico clássico (régua e compasso) — construção passo a passo e por que funciona:
Procedimento (serve tanto para 3 partes quanto para partes; basta escolher
apropriado):
Procedimento (serve tanto para 3 partes quanto para
- A partir de
, desenhe um raio qualquer em direção diferente de . No raio marque consecutivamente segmentos iguais com o compasso (faça um segmento de comprimento conveniente e copie-o vezes). Nomeie os pontos marcados , com mais próximo de e o último. - Una
a por uma linha reta. - Para cada
, trace por uma reta paralela a (isso pode ser feito com régua e compasso copiando ângulos ou usando construção de retas paralelas). Cada paralela intersecta o segmento em um ponto . - Os pontos
dividem em partes iguais. Para o caso de 3 partes, faça e terá as duas interseções.
Por que funciona (explicação via triângulos semelhantes, didática):
- Os triângulos formados entre o raio e o segmento
são pares de triângulos que têm os mesmos ângulos (ângulos correspondentes formados por paralelas), logo são semelhantes. - Em triângulos semelhantes, os comprimentos correspondentes estão na mesma razão. Como você marcou segmentos iguais no raio, a razão entre a posição do
-ésimo ponto no raio e a última posição é . Pela semelhança, a razão entre e é a mesma . Assim , o que garante que os pedaços de são iguais.
Passo 6
Exemplo numérico curto para fixar (bem mastigado):
- Suponha
e . Então . - Para três partes,
e . - Logo
Você pode checar que as distâncias
são iguais (cada uma tem comprimento
no exemplo).