Faça os seguintes itens:
a. Prove que a equação x^{2}=3 não possui uma solução racional.
b. Defina o conjunto C:=\left\{x \in \mathbb{Q} ; x^{2}>3\right\}. Prove que C é limitado inferiormente, mas, C não possui ínfimo em \mathbb{Q}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Provar que a equação x^{2}=3 não possui solução racional.
b) Definir o conjunto
C:=\{x\in\mathbb{Q}\;;\;x^{2}>3\}
e provar que C é limitado inferiormente, mas que C não possui ínfimo em \mathbb{Q}.
Informações relevantes dadas: a equação x^{2}=3 e a definição do conjunto C contendo números racionais cujo quadrado é maior que 3. Não há outras hipóteses explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos provar (a). Estratégia: prova por contradição usando a representação de um racional na forma irreduzível \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, q>0 e \gcd(p,q)=1. Antes, estabelecemos um lema simples sobre divisibilidade por 3.
Lema (fato usado): Se 3 divide n^{2} então 3 divide n. Explicação elementar: os restos possíveis de um inteiro n módulo 3 são 0,1,2. Seus quadrados são 0^{2}\equiv0\pmod{3}, 1^{2}\equiv1\pmod{3}, 2^{2}\equiv4\equiv1\pmod{3}. Assim, a única forma de n^{2}\equiv0\pmod{3} é que n\equiv0\pmod{3}, isto é, 3\mid n. Este é um argumento curto e completo do porquê do lema.

Passo 3

Prova de (a) — x^{2}=3 não tem solução racional.
Suponha, por contradição, que exista x\in\mathbb{Q} tal que x^{2}=3. Escrevamos x na forma irreduzível
x=\frac{p}{q},
com p,q\in\mathbb{Z}, q>0 e \gcd(p,q)=1. Substituindo na equação,
\left(\frac{p}{q}\right)^{2}=3,
logo
p^{2}=3q^{2}.
Da igualdade p^{2}=3q^{2} segue que 3 divide p^{2}. Pelo lema, 3 divide p. Então existe k\in\mathbb{Z} tal que p=3k. Substituindo,
(3k)^{2}=3q^{2}\quad\Longrightarrow\quad 9k^{2}=3q^{2}\quad\Longrightarrow\quad 3k^{2}=q^{2}.
Agora 3 divide q^{2}, então pelo mesmo lema 3 divide q. Assim p e q têm o fator 3 em comum, isto é, \gcd(p,q)\ge 3, o que contradiz a hipótese de que a fração estava na forma irreduzível ( \gcd(p,q)=1). Logo nossa suposição inicial está errada e não existe x\in\mathbb{Q} com x^{2}=3.
Conclusão: \sqrt{3}\notin\mathbb{Q}; a equação x^{2}=3 não tem solução racional.

Passo 4

Agora (b). Primeiro uma observação necessária para que a afirmação faça sentido: tal como o conjunto foi escrito, C=\{x\in\mathbb{Q}:x^{2}>3\} contém tanto racionais positivos maiores que \sqrt{3} quanto racionais negativos com módulo maior que \sqrt{3} (por exemplo -2 está em C pois (-2)^{2}=4>3). Se C contivesse ambos sinais livremente, C seria não limitado inferiormente (pois contém números negativos arbitrariamente grandes em módulo). Como o enunciado pede para provar que C é limitado inferiormente mas não tem ínfimo em \mathbb{Q}, vamos entender a intenção usual desta classe de problemas: considerar apenas os racionais positivos cuja quadrado é maior que 3. Portanto, a partir daqui interpretamos
C=\{x\in\mathbb{Q}:\;x>0\\ \text{e}\\ x^{2}>3\},
que é o conjunto dos racionais positivos maiores do que \sqrt{3}. (Se não restringíssemos o sinal, a propriedade “limitado inferiormente” falharia.)

Passo 5

Mostramos que C é limitado inferiormente (com a interpretação acima).
  • Primeiro, C é não vazio: por exemplo 2\in\mathbb{Q} e 2^{2}=4>3, logo 2\in C.
  • Um limitante inferior simples é 0. De fato, todo x\in C satisfaz x>0, então 0\le x para todo x\in C; portanto 0 é uma cota inferior de C. Assim C é limitado inferiormente.
Observação: qualquer b\in\mathbb{Q} com b\le 0 também é cota inferior; o interessante é que existe uma maior cota inferior (o ínfimo em \mathbb{R}), que será \sqrt{3}, mas \sqrt{3}\notin\mathbb{Q}.

Passo 6

Provar que C não possui ínfimo em \mathbb{Q}.
Raciocínio geral: geometricamente, C são os racionais maiores do que \sqrt{3}. Em \mathbb{R} o ínfimo (a maior cota inferior) seria \sqrt{3}. Como mostramos em (a), \sqrt{3}\notin\mathbb{Q}. Precisamos transformar essa ideia numa prova em \mathbb{Q}: assumir que existe um ínfimo racional e obter uma contradição.
Prova formal:
Suponha, por contradição, que exista r\in\mathbb{Q} que seja o ínfimo de C considerado como subconjunto de \mathbb{Q}. Então r é cota inferior de C e para toda cota inferior s\in\mathbb{Q} devemos ter s\le r.
Primeiro, r não pode satisfazer r>\sqrt{3}. Porque, se r>\sqrt{3}, então r não seria cota inferior: existe x\in C arbitrariamente próximo de \sqrt{3} vindo por cima (lemos informalmente, mas vamos usar a densidade dos racionais abaixo para formalizar), e em particular existe x\in C com x<r, contradizendo que r é uma cota inferior. Assim necessariamente r\le\sqrt{3}.
Agora, r também não pode satisfazer r<\sqrt{3}. Para ver isso, usamos um fato importante: os números racionais são densos nos reais — entre quaisquer dois reais distintos existe um racional. Vou dar uma prova curta desse fato padrão: se a<b são reais, escolha n\in\mathbb{N} tal que \dfrac{1}{n}<b-a (isso é possível pelo princípio arquimediano). Então existe um inteiro m com m/n>a (escolha m tal que m>na); como \dfrac{m-1}{n}\le a<\dfrac{m}{n} e \dfrac{m}{n}<a+\dfrac{1}{n}<b, segue que \dfrac{m}{n} é um racional entre a e b. Logo existe um racional entre a e b.
Aplicando essa densidade ao par r e \sqrt{3} — lembrando que r<\sqrt{3} por hipótese nesta parte — existe um racional s com
r<s<\sqrt{3}.
Mas então s<\sqrt{3} implica s não é elemento de C. Porém, como s<\sqrt{3} e todos os elementos de C são maiores que \sqrt{3}, temos s\le x para todo x\in C. Ou seja, s é também uma cota inferior de C. Isto contradiz o fato de r ser a maior cota inferior em \mathbb{Q}, porque encontramos outra cota inferior s\in\mathbb{Q} com s>r.
Portanto não existe r\in\mathbb{Q} que seja ínfimo de C. Em palavras: o ínfimo real de C é \sqrt{3}, mas este número não é racional, logo C não tem ínfimo em \mathbb{Q}.

Resposta

a) A equação x^{2}=3 não possui solução racional (ou seja, \sqrt{3}\notin\mathbb{Q}).\n
b) Considerando C=\{x\in\mathbb{Q}:x>0\\ \text{e}\\ x^{2}>3\}, o conjunto C é limitado inferiormente (por exemplo 0 é cota inferior), mas C não possui ínfimo em \mathbb{Q}.

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