Faça os seguintes itens:
a. Prove que a equação
não possui uma solução racional.
b. Defina o conjunto
. Prove que
é limitado inferiormente, mas,
não possui ínfimo em
.
a. Prove que a equação
b. Defina o conjunto
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) Provar que a equação
não possui solução racional.
b) Definir o conjunto
e provar que
é limitado inferiormente, mas que
não possui ínfimo em
.
Informações relevantes dadas: a equação
e a definição do conjunto
contendo números racionais cujo quadrado é maior que
. Não há outras hipóteses explícitas no enunciado.
Passo 2
Vamos provar (a). Estratégia: prova por contradição usando a representação de um racional na forma irreduzível
com
,
e
. Antes, estabelecemos um lema simples sobre divisibilidade por
.
Lema (fato usado): Se
divide
então
divide
. Explicação elementar: os restos possíveis de um inteiro
módulo
são
. Seus quadrados são
,
,
. Assim, a única forma de
é que
, isto é,
. Este é um argumento curto e completo do porquê do lema.
Passo 3
Prova de (a) —
não tem solução racional.
Suponha, por contradição, que exista
tal que
. Escrevamos
na forma irreduzível
com
,
e
. Substituindo na equação,
logo
Da igualdade
segue que
divide
. Pelo lema,
divide
. Então existe
tal que
. Substituindo,
Agora
divide
, então pelo mesmo lema
divide
. Assim
e
têm o fator
em comum, isto é,
, o que contradiz a hipótese de que a fração estava na forma irreduzível (
). Logo nossa suposição inicial está errada e não existe
com
.
Conclusão:
; a equação
não tem solução racional.
Passo 4
Agora (b). Primeiro uma observação necessária para que a afirmação faça sentido: tal como o conjunto foi escrito,
contém tanto racionais positivos maiores que
quanto racionais negativos com módulo maior que
(por exemplo
está em
pois
). Se
contivesse ambos sinais livremente,
seria não limitado inferiormente (pois contém números negativos arbitrariamente grandes em módulo). Como o enunciado pede para provar que
é limitado inferiormente mas não tem ínfimo em
, vamos entender a intenção usual desta classe de problemas: considerar apenas os racionais positivos cuja quadrado é maior que
. Portanto, a partir daqui interpretamos
que é o conjunto dos racionais positivos maiores do que
. (Se não restringíssemos o sinal, a propriedade “limitado inferiormente” falharia.)
Passo 5
Mostramos que
é limitado inferiormente (com a interpretação acima).
-
Primeiro,
é não vazio: por exemplo e , logo . -
Um limitante inferior simples é
. De fato, todo satisfaz , então para todo ; portanto é uma cota inferior de . Assim é limitado inferiormente.
Observação: qualquer
com
também é cota inferior; o interessante é que existe uma maior cota inferior (o ínfimo em
), que será
, mas
.
Passo 6
Provar que
não possui ínfimo em
.
Raciocínio geral: geometricamente,
são os racionais maiores do que
. Em
o ínfimo (a maior cota inferior) seria
. Como mostramos em (a),
. Precisamos transformar essa ideia numa prova em
: assumir que existe um ínfimo racional e obter uma contradição.
Prova formal:
Suponha, por contradição, que exista
que seja o ínfimo de
considerado como subconjunto de
. Então
é cota inferior de
e para toda cota inferior
devemos ter
.
Primeiro,
não pode satisfazer
. Porque, se
, então
não seria cota inferior: existe
arbitrariamente próximo de
vindo por cima (lemos informalmente, mas vamos usar a densidade dos racionais abaixo para formalizar), e em particular existe
com
, contradizendo que
é uma cota inferior. Assim necessariamente
.
Agora,
também não pode satisfazer
. Para ver isso, usamos um fato importante: os números racionais são densos nos reais — entre quaisquer dois reais distintos existe um racional. Vou dar uma prova curta desse fato padrão: se
são reais, escolha
tal que
(isso é possível pelo princípio arquimediano). Então existe um inteiro
com
(escolha
tal que
); como
e
, segue que
é um racional entre
e
. Logo existe um racional entre
e
.
Aplicando essa densidade ao par
e
— lembrando que
por hipótese nesta parte — existe um racional
com
Mas então
implica
não é elemento de
. Porém, como
e todos os elementos de
são maiores que
, temos
para todo
. Ou seja,
é também uma cota inferior de
. Isto contradiz o fato de
ser a maior cota inferior em
, porque encontramos outra cota inferior
com
.
Portanto não existe
que seja ínfimo de
. Em palavras: o ínfimo real de
é
, mas este número não é racional, logo
não tem ínfimo em
.
Resposta
a) A equação
não possui solução racional (ou seja,
).\n
b) Considerando , o conjunto
é limitado inferiormente (por exemplo
é cota inferior), mas
não possui ínfimo em
.
b) Considerando