Diz-se que uma função
é limitada superiormente quando sua imagem
for um conjunto limitado superiormente. Então, define-se
a. Prove que se
forem funções limitadas superiormente, então,
é limitada superiormente e que
.
b. Dê exemplos de funções
e
tais que
c. Dadas as funções
limitadas superiormente, prove que o produto
é uma função limitada superiormente e que
.
b. Dê exemplos de funções
Passo 1
O enunciado dá as definições e pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede, passo a passo, sem resolver ainda. \n
Dados: \n
Dados: \n
- Duas funções
(no item (a) e (b)) cujo conjunto imagem é limitado superiormente; isto é, e existem como números reais finitos. \n - No item (c) as funções são
(ou seja, e para todo ) e também são limitadas superiormente. \n
Pedidos: \n
(a) Provar queé limitada superiormente e mostrar que . \n
(b) Apresentar exemplos dee tais que . \n
(c) Provar que, quandosão não-negativas e limitadas superiormente, o produto é limitada superiormente e que . \n
Observação importante: a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Lembrete/definição útil (aula rápida e necessária): o que é
. \n
- Dado um conjunto
limitado superiormente, é o menor dos limites superiores (o menor upper bound). Isso significa duas coisas: \n - Para todo
vale (ou seja, é um majorante de ). \n - Se
é qualquer outro majorante de (ou seja, para todo ), então (ou seja, é o menor desses majorantes). \n
Vou usar essas propriedades muitas vezes: a primeira para comparar valores ponto a ponto, a segunda para concluir desigualdades envolvendo supremos.
- Para todo
Passo 3
Prova detalhada do item (a): provar que
é limitada superiormente e que
. \n
- Como
é limitada superiormente, seu supremo é um número real finito e, pela propriedade da definição, para todo vale
- De modo análogo, como
é limitada superiormente, para todo vale
- Agora somo as duas desigualdades ponto a ponto: para todo
,
Explicação detalhada: somar desigualdades que valem para o mesmo
é permitido e mantém a direção da desigualdade; não usei nada além de aritmética básica. \n
4) A desigualdade acima diz que o número é um majorante (um upper bound) do conjunto
, isto é, é um limitante superior para a imagem de
. Logo a imagem de
é limitada superiormente, portanto
existe e é finito. \n
5) Finalmente, usando a segunda propriedade do supremo (é o menor majorante), como é um majorante de
concluímos
4) A desigualdade acima diz que o número
5) Finalmente, usando a segunda propriedade do supremo (é o menor majorante), como
que é exatamente o que se pedia. \n
Comentário intuitivo: cada valor nunca ultrapassa a soma dos maiores valores possíveis de
e
; assim a soma
é limitada superiormente e seu supremo não pode passar da soma dos supremos.
Comentário intuitivo: cada valor
Passo 4
Discussão sobre quando ocorre igualdade e quando pode haver desigualdade estrita (prévia para o item (b)). \n
- Se existir um ponto
tal que e (ou seja, ambos os supremos são atingidos no mesmo ponto), então para esse vale
o que implica
. \n
- Se os pontos onde
e chegam perto de seus supremos são diferentes (por exemplo, atinge seu supremo em e atinge em com ), então pode acontecer que nenhum ponto faça alcançar a soma dos supremos, e assim podemos ter a desigualdade estrita . \n
Essa observação já dá a pista de como construir exemplos.
Passo 5
Exemplos para o item (b) — construindo funções com
. \n
Exemplo simples e explícito (discreto): tomo e defino
Exemplo simples e explícito (discreto): tomo
Calculemos os supremos:
(porque a imagem de
é
) e
(imagem
). Assim
Agora a soma ponto a ponto é
A imagem de
é
, logo
. Portanto
Isso mostra explicitamente a desigualdade estrita. \n
Outro exemplo (mais “suave”, contínuo): em defina
e
. Temos
e
, então
. Mas
tem máximo
(atingido em
), portanto
Outro exemplo (mais “suave”, contínuo): em
Ambos os exemplos servem; o primeiro é o mais simples para a prova/exame. \n
Comentário encorajador: deu pra ver uma ideia clara — quando os picos de e
não coincidem, a soma não alcança a soma dos picos.
Comentário encorajador: deu pra ver uma ideia clara — quando os picos de
Passo 6
Prova detalhada do item (c):
limitadas superiormente. Mostrar que
é limitada superiormente e que
- Como em (a), pela definição de supremo, para todo
vale
e
pois
são não-negativas e limitadas superiormente. \n
2) Agora quero multiplicar as duas desigualdades. Atenção didática importante: multiplicar desigualdades preserva a ordem se multiplicarmos por números não-negativos. Aqui todos os termos envolvidos são não-negativos ( ), então é seguro multiplicar. Multiplicando we get, para todo
,
2) Agora quero multiplicar as duas desigualdades. Atenção didática importante: multiplicar desigualdades preserva a ordem se multiplicarmos por números não-negativos. Aqui todos os termos envolvidos são não-negativos (
Explicação passo a passo da multiplicação: como
e
, então
. Ou seja, primeiro fixamos uma ordem de multiplicação e aplicamos monotonicidade da multiplicação por números não-negativos. \n
3) A desigualdade acima mostra que o número é um majorante da imagem
. Logo
é limitada superiormente e seu supremo existe e é finito. \n
4) Finalmente, pela propriedade do supremo (é o menor majorante), obtemos
3) A desigualdade acima mostra que o número
4) Finalmente, pela propriedade do supremo (é o menor majorante), obtemos
como queríamos. \n
Comentário adicional: a hipótese é essencial aqui para garantir que a multiplicação preserve a desigualdade; se uma das funções pudesse assumir valores negativos, a conclusão não seguiria dessa maneira direta.
Comentário adicional: a hipótese
Passo 7
Resumo final e observações rápidas de reforço (para lembrar na hora da prova): \n
- Técnica padrão usada: pegar as desigualdades ponto a ponto fornecidas por serem supremos e, em seguida, combinar (somar ou multiplicar, conforme permitido) para produzir um majorante para a função composta (soma ou produto). \n
- Mostrar que algo é limitada superiormente basta encontrar um número real que seja majorante de cada valor da função; então usar a propriedade do supremo para concluir a desigualdade solicitada. \n
- Para exigir desigualdade estrita, construa funções cujos pontos de pico não coincidam — exemplo discreto com
é o mais direto.
Resposta
(a)
é limitada superiormente e
.\n
(b) Exemplo: ,
,
. Então
,
,
e
.\n
(c) é limitada superiormente e
.
(b) Exemplo:
(c)