Para todo x \in \mathbb{R}-\{0\} e para todo n \in \mathbb{N}, prove que
(1+x)^{2 n}>1+2 n x .

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, para todo x \in \mathbb{R}-\{0\} e todo n \in \mathbb{N},
(1+x)^{2n} > 1 + 2n x.
Informações dadas e relevantes:
  • x é um número real diferente de 0.
  • n é um número natural.
  • A expressão à esquerda é uma potência com expoente 2n, que é um número inteiro par.

Passo 2

Vamos transformar a desigualdade em uma afirmação sobre uma função que fica mais fácil de analisar. Definimos a função
f(x) = (1+x)^{2n} - 1 - 2n x.
A meta equivalente é mostrar que, para todo x\neq 0,
f(x)>0.
Essa construção é útil porque podemos estudar f usando derivadas e propriedades de convexidade.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f. Usamos a regra do poder/derivada composta: se g(x)=(1+x)^m com m inteiro, então g'(x)=m(1+x)^{m-1}.
Aplicando isso,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl((1+x)^{2n}\bigr) - \frac{d}{dx}(1) - \frac{d}{dx}(2n x) = 2n(1+x)^{2n-1} - 2n.
Podemos escrever
f'(x)=2n\bigl((1+x)^{2n-1}-1\bigr).
Agora derivamos de novo:
f''(x)=2n(2n-1)(1+x)^{2n-2}.

Passo 4

Analisamos o sinal de f''(x). Note que 2n(2n-1) é positivo, e o expoente 2n-2 é um número par (pois 2n-2=2(n-1)). Assim, para todo x\in\mathbb{R} temos (1+x)^{2n-2}\ge 0. Portanto
f''(x)=2n(2n-1)(1+x)^{2n-2}\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isto diz que f é uma função convexa (segunda derivada não negativa em toda a reta). Uma propriedade útil: se uma função f é convexa e tem um ponto crítico onde f'(x_0)=0, então x_0 é um ponto de mínimo global.

Passo 5

Avaliamo o valor de f e de f' em x=0:
f(0)=(1+0)^{2n}-1-2n\cdot 0=1-1=0,
f'(0)=2n\bigl((1+0)^{2n-1}-1\bigr)=2n(1-1)=0.
Como f é convexa e tem derivada zero em x=0, o ponto x=0 é um mínimo global de f. Como f é um polinômio de grau 2n não constante, o mínimo global não é assumido em mais de um ponto com valor zero (ou, mais direto, f não é identicamente zero), portanto para todo x\neq 0 temos
f(x)>f(0)=0.
Isto é exatamente
(1+x)^{2n}-1-2n x>0,
ou seja a desigualdade desejada.

Resposta

(1+x)^{2n}>1+2n x \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}-\{0\}\text{ e todo }n\in\mathbb{N}.

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