Para todo
e para todo
, prove que
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, para todo
e todo
,
Informações dadas e relevantes:
-
é um número real diferente de . -
é um número natural. - A expressão à esquerda é uma potência com expoente
, que é um número inteiro par.
Passo 2
Vamos transformar a desigualdade em uma afirmação sobre uma função que fica mais fácil de analisar. Definimos a função
A meta equivalente é mostrar que, para todo
,
Essa construção é útil porque podemos estudar
usando derivadas e propriedades de convexidade.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
. Usamos a regra do poder/derivada composta: se
com
inteiro, então
.
Aplicando isso,
Aplicando isso,
Podemos escrever
Agora derivamos de novo:
Passo 4
Analisamos o sinal de
. Note que
é positivo, e o expoente
é um número par (pois
). Assim, para todo
temos
. Portanto
Isto diz que
é uma função convexa (segunda derivada não negativa em toda a reta). Uma propriedade útil: se uma função
é convexa e tem um ponto crítico onde
, então
é um ponto de mínimo global.
Passo 5
Avaliamo o valor de
e de
em
:
Como
é convexa e tem derivada zero em
, o ponto
é um mínimo global de
. Como
é um polinômio de grau
não constante, o mínimo global não é assumido em mais de um ponto com valor zero (ou, mais direto,
não é identicamente zero), portanto para todo
temos
Isto é exatamente
ou seja a desigualdade desejada.