Use o método do Problema 9 para resolver as equações seguintes, dado que
é uma solução para cada uma delas.
y{\prime}+y{2}=1+x^{2}
y{\prime}+y{2}=1+x^{2}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
sabendo que uma solução particular é
. Vamos aplicar o método que, dado um Riccati e uma solução particular
, faz a troca de variável
Isso transforma a equação em uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 2
Fazemos a substituição
Primeiro calculamos
. Como
, temos
Passo 3
Substituímos
e
em
Isso dá
Expandindo o quadrado:
Passo 4
Cancelamos
dos dois lados e agrupamos termos em
:
Multiplicando por
:
Obtivemos uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Resolvemos
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
Integramos:
Logo
Passo 6
Voltamos à variável
:
Resposta
A solução geral da equação
é
onde
é constante arbitrária.