Use o método do Problema 9 para resolver as equações seguintes, dado que \mathbf{y}_{1}=\mathbf{x} é uma solução para cada uma delas.
y{\prime}+y{2}=1+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
y' + y^{2} = 1 + x^{2}
sabendo que uma solução particular é y_{1}(x)=x. Vamos aplicar o método que, dado um Riccati e uma solução particular y_{1}, faz a troca de variável
y = y_{1} + \frac{1}{z}.
Isso transforma a equação em uma equação linear de primeira ordem para z.

Passo 2

Fazemos a substituição
y = x + \frac{1}{z}.
Primeiro calculamos y'. Como y = x + z^{-1}, temos
y' = 1 - \frac{z'}{z^{2}}.

Passo 3

Substituímos y e y' em
y' + y^{2} = 1 + x^{2}.
Isso dá
\Bigl(1 - \frac{z'}{z^{2}}\Bigr) + \Bigl(x + \frac{1}{z}\Bigr)^{2} =1 + x^{2}.
Expandindo o quadrado:
1 - \frac{z'}{z^{2}} + x^{2} + \frac{2x}{z} + \frac{1}{z^{2}} =1 + x^{2}.

Passo 4

Cancelamos 1 + x^{2} dos dois lados e agrupamos termos em z:
-\frac{z'}{z^{2}} + \frac{1}{z^{2}} + \frac{2x}{z} = 0.
Multiplicando por z^{2}:
-\,z' + 1 + 2x\,z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z' - 2x\,z = 1.
Obtivemos uma equação linear de primeira ordem para z.

Passo 5

Resolvemos
z' - 2x\,z = 1.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{-\int 2x\,dx} = e^{-x^{2}}.
Multiplicando a equação por \mu:
e^{-x^{2}}\,z' - 2x\,e^{-x^{2}}\,z = e^{-x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(z\,e^{-x^{2}}\bigr) = e^{-x^{2}}.
Integramos:
z\,e^{-x^{2}} = \int e^{-x^{2}}\,dx + C = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erf}(x) + C.
Logo
z(x) = e^{x^{2}}\Bigl(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erf}(x) + C\Bigr).

Passo 6

Voltamos à variável y:
y = x + \frac{1}{z} = x + \frac{1}{e^{x^{2}}\bigl(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erf}(x)+C\bigr)} = x + \frac{e^{-x^{2}}}{\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erf}(x)+C}.

Resposta

A solução geral da equação
y' + y^{2} = 1 + x^{2}
é
\boxed{ y(x) = x \;+\; \frac{e^{-x^{2}}}{\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erf}(x) + C} },
onde C é constante arbitrária.

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