Faça uma tabela mostrando todos os conjuntos de números quânticos l e ml possíveis para os estados do elétron no átomo de hidrogênio quando n=5. Quantas combinações existem? Quais são as energias desses estados?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente listar todos os conjuntos dos números quânticos $ l $ e $ m_l $ para um elétron no átomo de hidrogênio quando $ n = 5 $. Além disso, precisamos contar quantas combinações existem e descobrir as energias desses estados. Para isso, vamos usar conceitos de números quânticos na física atômica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os números quânticos. No modelo atômico, cada elétron em um átomo é descrito por quatro números quânticos, mas aqui vamos focar em dois deles: o número quântico azimutal $ l $ e o número quântico magnético $ m_l $.

Passo 3

O número quântico azimutal $ l $ está relacionado com a forma da órbita do elétron e pode assumir valores inteiros de 0 até $ n-1 $. Como nosso $ n $ é 5, então:
l

Passo 4

Para cada valor de $ l $, o número quântico magnético $ m_l $ descreve a orientação da órbita no espaço e pode variar de $ -l $ até $ +l $, incluindo o zero. Vamos listar os valores de $ m_l $ para cada $ l $:
  • Se $ l = 0 $, então $ m_l = 0 $
  • Se $ l = 1 $, então $ m_l = -1, 0, +1 $
  • Se $ l = 2 $, então $ m_l = -2, -1, 0, +1, +2 $
  • Se $ l = 3 $, então $ m_l = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 $
  • Se $ l = 4 $, então $ m_l = -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4 $

Passo 5

Agora, vamos organizar essas informações em uma tabela para facilitar a visualização:
$ l $ $ m_l $
0 0
1 -1, 0, +1
2 -2, -1, 0, +1, +2
3 -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3
4 -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4

Passo 6

Para contar todas as combinações possíveis de $ l $ e $ m_l $, vamos somar quantos valores de $ m_l $ temos para cada $ l $:
  • $ l = 0 $: 1 valor
  • $ l = 1 $: 3 valores
  • $ l = 2 $: 5 valores
  • $ l = 3 $: 7 valores
  • $ l = 4 $: 9 valores
Somando todos: $ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 $ combinações.

Passo 7

Agora, sobre as energias desses estados. No átomo de hidrogênio, a energia de um elétron depende apenas do número quântico principal $ n $ e é dada pela fórmula:
n
Para $ n = 5 $:
En = -13,6, eVn^2
Isso significa que todos os estados com $ n = 5 $ têm a mesma energia de $ -0,544, eV $.

Resposta

  • Foram encontradas 25 combinações possíveis de $ l $ e $ m_l $ para $ n = 5 $.
  • A energia de todos esses estados é $ -0,544, eV $.

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